フォイエルバッハ双曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/12 13:18 UTC 版)
幾何学において、フォイエルバッハ双曲線（ふぉいえるばっはそうきょくせん、英: Feuerbach hyperbola）は三角形の頂点、垂心、内心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ミッテンプンクト、シフラー点などを通る直角双曲線である。その中心は内接円と九点円の接点、フォイエルバッハ点である。
方程式
フォイエルバッハ双曲線は三線座標(α : β : γ)によって以下の式で表される[1]。
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刈屋の定理 三角形ABCについて、内接円とA, B, Cの対辺の接点をそれぞれA1, B1, C1とする。IA1, IB1, IC1上にある点X, Y, XがIX = IY = IZとなるようにとる。このときAX, BY, CZは共点である。これを刈屋の定理（Kariya's theorem）といい、その点を刈屋点と言う。名称は刈屋他人次郎に由来する[6]。刈屋点はフォイエルバッハ双曲線上にある。
刈屋の定理は長い歴史を持つ[7]。 刈屋の定理はAuguste BoutinとV. Retaliが証明するより前に刈屋の論文によって発表されていた[8][9][10][11]。現代では、刈屋の定理が一般化されてフォイエルバッハ双曲線となっている。
また、ルモワーヌの問題（キーペルト双曲線に関する問題）と刈屋の定理はともにヤコビの定理の系である。
出典
- ^ Parry, C. F. (2001). “Triangle centers and central triangles, by Clark Kimberling (Congress Numerantium Vol. 129)”. The Mathematical Gazette (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg) 85 (502): 172–173. doi:10.2307/3620531. ISSN 0025-5572. JSTOR 3620531.
- ^ Weisstein, Eric W. "Stammler Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Thébault 1948.
- ^ “Central lines”. faculty.evansville.edu. 2024年5月4日閲覧。
- ^ Rigby, J. F. (1973). “A concentrated dose of old-fashioned geometry”. The Mathematical Gazette 57 (402): 296–298. doi:10.2307/3616051. ISSN 0025-5572. JSTOR 3616051.
- ^ 小倉金之助『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂、1919年、623頁。NDLJP:1082035。
- ^ “Problems and Solutions”. The American Mathematical Monthly 119 (8): 699. (2012). doi:10.4169/amer.math.monthly.119.08.699.
- ^ Kahane, J. (1961). “Problèmes et remarques sur les carrés de convolution”. Colloquium Mathematicum 8 (2): 263–265. doi:10.4064/cm-8-2-263-265. ISSN 0010-1354.
- ^ Humbert, G. (1890). “Sur les coniques inscrites à une quartique”. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 4 (3): 1–8. doi:10.5802/afst.55. ISSN 0996-0481.
- ^ “Periodico di Matematica per ľinsegnamento secondario”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 3 (2): 56. (1889). doi:10.1007/bf03017173. ISSN 0009-725X.
- ^ Kariya, J. (1904). “Un probleme sur le triangle”. L'Enseignement Mathématiques 6: 130–132, 236, 406.
参考文献
- Woods, Roscoe (1932-01-01). “Some Conics with Names”. Proceedings of the Iowa Academy of Science 39 (1): 197–203. ISSN 0085-2236.
- Thébault, Victor (1948). “4169”. The American Mathematical Monthly 55 (4): 254–256. doi:10.2307/2305598. ISSN 0002-9890.
- Room, T. G. (1958). “4754”. The American Mathematical Monthly 65 (7): 531–533. doi:10.2307/2308591. ISSN 0002-9890.
- Čerin, Zvonko (1997). “Hyperbolas and Orthologic Triangles”. Mathematica Pannonica: 201-214.
- Čerin, Zvonko (1998). “Characterisations of Kiepert, Jarabek and Feuerbach hyperbolas.”. Note di Matematica 1: 17-26.
- Čerin, Zvonko (1999). “Orthology, radial enlargement, and hyperbolas.”. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics 6: 63-72.
- Kouřilová, Tereza; Röschel, Otto (2013-08-01). “A remark on Feuerbach hyperbolas” (英語). Journal of Geometry 104 (2): 317–328. doi:10.1007/s00022-013-0169-z. ISSN 1420-8997.
- Kiss, Sándor N.; Yiu, Paul (2014). “The touchpoints triangles and the Feuerbach hyperbolas.”. Forum Geometricorum 14: 63-86.
- Yiu, Paul (2015). “The Kariya problem and related constructions.”. Forum Geometricorum 15: 191-201.
- Ito, Ayane; Kasai, Takefumi; Terui, Akira (2023). “Computer-assisted proofs of "Kariya's theorem" with computer algebra”. ArXiv. arXiv:2304.07491.
- Scott, J. A. (2019-11). “103.42 The Feuerbach hyperbola revisited” (英語). The Mathematical Gazette 103 (558): 536–538. doi:10.1017/mag.2019.124. ISSN 0025-5572.
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Feuerbach Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).
- Yiu, Paul. “A Tour of Triangle Geometry”. 2025年1月22日閲覧。
- フォイエルバッハ双曲線のページへのリンク
