三線極線とは？わかりやすく解説

ユークリッド幾何学において、三線極線（さんせんきょくせん、英:trilinear polar）とは三角形と点について一意的に決まる直線のひとつである^[1]^[2]^[3]。1865年、フランスの数学者ポンスレ (1788–1867)によって提言された^[1]^[4]。

定義

**$P$ の三線極線**
   $△ ABC$

   $P$ のチェバ三角形 $△ DEF$

   $P$ のチェバ線

  三線極線 $XYZ$

$△ ABC$ と点 $P$ のチェバ三角形の配景の軸を $P$ の三線極線と言う。

つまり $AP, BP, CP$ と $BC, CA, AB$ の交点を $D, E, F$ 、それぞれ直線の組 $(BC, EF), (CA, FD), (DE, AB)$ の交点を $X, Y, Z$ とすると、デザルグの定理より $X, Y, Z$ は共線である。このとき直線 $XYZ$ を $P$ の三線極線という^[1]。

$△ ABC$ にたいして直線 $L$ が三線極線となるような、点 $P$ を $L$ の三線極点（trilinear pole）または三線極と言う。

三線座標で $P$ を $p : q : r$ とすると $P$ の三線極線は以下の等式で表される^[5]。

{\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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三線極線

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