類似中線
類似中線（るいじちゅうせん、Symmedian）は任意の三角形に対して定義される3本の直線である。
類似中線は、三角形の角の二等分線を対称軸として、中線と対称の位置にある直線である（すなわち、中線と等角共役である）。三角形における3本の類似中線は1点で交わる。この点は重心の等角共役点であり、特に類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。
歴史
フランスのエミール・ルモワーヌは、1873年に3本の類似中線が1点に交わることを証明した。それよりも前にエルンスト・ヴィルヘルム・グリーブが1847年に論文を発表している。スイスのサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエは1809年にこの点について言及している。
性質
- 円ABCの点B,Cにおける接線の交点をXとすると、AXは三角形ABCの角A内の類似中線である。Y,ZをB,Cに対してXと同様に定義する。△XYZは接線三角形で△ABCと△XYZは類似重心を中心に配景的である（AX,BY,CZは類似重心で交わる）。
- 三角形ABCの角A内の類似中線と辺BCの交点をS(≠A)とすると
類似重心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 12:58 UTC 版)
3本の類似中線の交点は類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。 三角形の3辺の長さを a, b, c とすると類似重心の三線座標は a : b : c 、重心座標は a2 : b2 : c2 となる。 内接円と辺の接点を D, E, F としたとき、三角形 DEF の類似重心は元の三角形のジェルゴンヌ点になる。
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