類似中線

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類似中線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 16:38 UTC 版)

三角形の中線（青）、角の二等分線（緑）、類似中線（赤）。3本の類似中線は類似重心（ルモワーヌ点）で交わる。

類似中線（るいじちゅうせん、Symmedian）は任意の三角形に対して定義される3本の直線である。

類似中線は、三角形の角の二等分線を対称軸として、中線と対称の位置にある直線である（すなわち、中線と等角共役である）。三角形における3本の類似中線は1点で交わる。この点は重心の等角共役点であり、特に類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。

歴史

フランスのエミール・ルモワーヌは、1873年に3本の類似中線が1点に交わることを証明した。それよりも前にエルンスト・ヴィルヘルム・グリーブ（ドイツ語版）が1847年に論文を発表している。スイスのサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエは1809年にこの点について言及している。

性質

• 円ABCの点B,Cにおける接線の交点をXとすると、AXは三角形ABCの角A内の類似中線である。Y,ZをB,Cに対してXと同様に定義する。△XYZは接線三角形で△ABCと△XYZは類似重心を中心に配景的である（AX,BY,CZは類似重心で交わる）。
• 三角形ABCの角A内の類似中線と辺BCの交点をS(≠A)とすると ${\displaystyle AB^{2}:AC^{2}=BS:SC}$