中心線_(幾何学)

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中心線 (幾何学)

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幾何学において, 中心線^{[訳語疑問点]}（ちゅうしんせん、英: Central lines）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング（英語版）の論文でまとめられた^[1][2]。

定義

△ABC に対する三線座標x : y : zを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。 $${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$

△ABCと点Xについて、中心線は以下の様に定義される。

• YをXの等角共役点とする。AY, BY, CYは直線 AX, BX, CX をA, B, Cの角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
• △ABCと点Yに対するチェバ線AY, BY, CYとBC, CA, ABの交点A', B', C'でチェバ三角形△A'B'C' を作る。
• △ABCと△A'B'C' はYを中心とし配景なのでデザルグの定理が成り立つ。
• この配景の軸DEFをYの三線極線、Xの中心線と言う。

著名な中心線

クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点X_nに対する中心線はL_nと表記される。

△ABC とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

内心の中心線:反垂軸

内心 X₁ = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。 $${\displaystyle x+y+z=0.}$$

重心の中心線:ルモワーヌ軸

△ABCの重心X₂（またはG）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$

外心X₃（またはO）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$

垂心 X₄（またはH）の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$

九点円の中心X₅（またはN）の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}$$

類似重心 X₆（または K）の三線座標は以下の式で与えられる。 $${\displaystyle a:b:c}$$