等角共役とは？わかりやすく解説

3本の角の二等分線は内心 $I$ で交わる

   $P$ と各頂点を結ぶ直線

  青い線を角の二等分線で鏡映した線（**等角共役線**）、 $P$ の等角共役点 $P*$ で交わる

幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、三角形 $△ ABC$ と点 $P$ について、 $A, B, C$ の角の二等分線で、直線 $PA, PB, PC$ を鏡映した線の交点 $P*$ のこと、または $P$ と $P*$ の関係である。

$A, B, C$ の角の二等分線で、直線 $PA, PB, PC$ を鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる^[1]。 $P$ に対して、 $P*$ を等角共役、または等角共役点と言う。 $P*$ の等角共役点は $P$ である。

例

内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
垂心 $H$ の等角共役点は外心 $O$ である。
重心 $G$ の等角共役点は類似重心 $K$ である（類似重心の定義）。
フェルマー点の等角共役点は等力点である。
2つのブロカール点は互いに等角共役である。

性質

三線座標系で、 $X=x:y:z$

等角共役点の2つ目の定義

$P$ を $BC, CA, AB$ で鏡映した点を $P a, P b, P c$ とする。円 $P a P b P c$ の中心は $P$ の等角共役点である^[4]。これは $P$ の垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。

一般化

2021年、ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した^[5]。

$△ ABC$ と外接円錐曲線 $Ω$ 、そして点 $P$ について、 $AP,BP,CP$ と $Ω$ が再び交わる点をそれぞれ $A',B',C'$ とする。 $A',B',C'$ を通る $BC,CA,AB$ の平行線と $Ω$ の第二交点を $A",B",C"$ として、 $AA",BB",CC"$ は共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という^[6]。

$Ω$ の中心 $X$ と $P$ の重心座標をそれぞれ $x : y : z, p : q : r$ 、として $P$ のダオ共役点は、 $x(x-y-z)qr::$

[1]

[4]

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