六円定理

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六円定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/29 13:16 UTC 版)

「ミケルの六円定理」とは異なります。

最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が内接円になっている。

幾何学で、六円定理（ろくえんていり、英語: six circles theorem）は、三角形と6つの円に関する定理である^[1]。△ABCについてAB,BCに接する円O₁をつくる。O₁,BC,CAに接する円O₂、O₂,CA,ABに接する円O₃と、循環的にO₆まで定義したとき、O₆とO₁は接する（chainが閉じる）^[2][3][4]。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された^[5]。

三角形の辺を円弧に変えたもの（円弧三角形）でも同様の定理がなりたつ（九円定理）^[2][6]。また多角形へも一般化されている（その場合周期が異なる）^[5]。

円の半径

半周長が1である△A₁A₂A₃について、線分A_iA_i-1, A_iA_i+1とC_i-1,C_i+1に接する円をC_iとする（A₄=A₁）。また、A_iと、その対辺と内接円の接点の距離をa_iとして

${\displaystyle a_{i}=\cos ^{2}(\alpha _{i})\quad (0<\alpha _{i}<{\frac {\pi }{2}})}$

s=1とした場合。

C₁とC₂がそれぞれD₁,D₂で接しているとする。また、C_iの半径をr_iとすると、

${\displaystyle A_{1}D_{1}=\cos ^{2}{\varphi _{1}},D_{1}D_{2}=2{\sqrt {r_{1}r_{2}}},A_{2}D_{2}=\cos ^{2}{\varphi _{2}}}$

最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

${\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\alpha _{1}-\alpha _{3},\varphi _{4}=\pi -\alpha _{3}-\alpha _{2},\varphi _{6}=\pi -\alpha _{2}-\alpha _{1}}$

4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=\varphi _{4}={\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}=\varphi _{5}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}=\varphi _{6}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}$