△ABC とそのそれぞれの辺上の点A' , B' , C' M ）。ミケルの定理 （みけるのていり、英語 : Miquel's theorem ）はフランス の高校教師であるオーギュスト・ミケル の名を冠する幾何学 の諸定理 である[ 1]
三角形 の3辺 またはその延長（英語版 ） に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円 は、一点で交わる。他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる[ 2] ジョゼフ・リウヴィル のJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。
厳密にいうと、ある△ABC について、直線 BC , CA , AB A' ,B' ,C' △A'B'C , △B'C'A , △C'A'B の外接円 を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角∠MA'C , ∠MB'A , ∠MC'B は等しくまた、∠MA'B , ∠MB'C , ∠MC'A も等しい[ 3] [ 4]
この定理は、 内接四角形 の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円A'B'C , AB'C'
M
≠
B
′
{\displaystyle M\neq B'}
幾つかの三角形のPivot Theorem
ミケルの定理を共線 でない3点A' , B' , C' Forder (1960 , p. 17)によってPivot theorem （ミケルの要の定理[ 5] [ 6]
A' , B' , C' BC , CA , AB d a d b d c 線分 BC , CA , AB a,b,c としてそのミケル点の三線座標 (x ,y ,z ) は以下の式で表される。
x
=
a
(
−
a
2
d
a
d
a
′
+
b
2
d
a
d
b
+
c
2
d
a
′
d
c
′
)
{\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}
ミケルの四辺形定理
ミケルの五点円定理 ミケルの六円定理:4円の隣り合う円との交点の一方が共円 なら、もう一方の交点も共円であるという定理。
△XYZ が三角形△ABC に内接 し相似 であるとき、任意の△XYZ において、そのミケル点は不動である[ 7] :p. 257 。
完全四辺形（英語版 ） の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる[ 8]
この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナー によってジョセフ・ジェルゴンヌ の出版物（Annales de Gergonne ）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた[ 8] [ 9]
凸な五角形 ABCDE について、その辺を延長し星形五角形 FGHIK をつくる。5つの円CFD ,DGE ,EHA ,AIB ,BKC 共円 である[ 10] 五円定理 が知られている。
円上に四点A,B,C,D をとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理 （Miquel's six circle theorem）または六円定理 （six circles theorem）、四円定理 （four circles theorem）という[ 11] 六円定理 は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである[ 12] [ 13]
三次元のミケルの定理:4つの球の交円（黒）は一点で交わる。 ミケルの定理は三次元 に一般化されている。三角形を四面体 に、円を球 に置き換える。4つの球は一点で交わる[ 4]
^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 , p. 94
^ 蟹江幸博 訳『幾何教程』丸善出版、2017年1月。ISBN 978-4-621-30131-9 。 ^ Miquel, Auguste (1838), “Mémoire de Géométrie” , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1 : 485–487, オリジナル の2013-02-13時点におけるアーカイブ。, https://archive.today/20130213095630/http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 ^ a b Wells 1991 , p. 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem
^ 横田捷宏「ミケルの要(pivot)の定理と連鎖円の研究」『初等数学』第71号、2014年、ISSN 1345-739X 。 ^ Coxeter & Greitzer 1967 , p. 62^ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, (2016). “Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles” . Forum Geometricorum . https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf . ^ a b Ostermann & Wanner 2012 , p. 96
^ Steiner, J. (1827/1828), “Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet”, Annales de Mathématiques 18 : 302–304 ^ Ostermann & Wanner 2012 , pp. 96–97^ Pedoe 1988 , p. 424^ Ostermann & Wanner 2012 , p. 352^ Wells 1991 , pp. 151–2
Coxeter, H.S.M. ; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library, 19 , Washington, D.C. : Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2 , Zbl 0166.16402 Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0 Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry ISBN 0-14-011813-6 , Zbl 0856.00005 , https://archive.org/details/penguindictionar0000well
