垂足三角形
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ユークリッド幾何学において、垂足三角形(すいそくさんかくけい、英:Pedal triangle)とは三角形と点に対して定義される三角形の一つである。
△ABCとA, B, Cでない点Pについて、Pから直線BC, AC, ABに垂線を降ろし、垂線とそれぞれの直線の交点(垂足)をL, M, Nとする。このとき△LMN を垂足三角形と言う。
△ABC が鋭角三角形で△LMNの角がそれぞれ180° − 2A,180° − 2B,180° − 2Cならば、Pは△ABCの垂心である[1]。日本語ではこのときの△LMNのみを垂足三角形と呼ぶ場合もある。
特別な点の垂足三角形の例を挙げる。
- 垂心の垂足三角形は垂足三角形(orthic triangle)である。広義の垂足三角形と区別するため垂心三角形と呼ばれることもある[2]。
- 内心の垂足三角形はジェルゴンヌ三角形(接触三角形[2])である。
- 外心の垂足三角形は中点三角形である。
- 外接円上の点の垂足三角形は退化してシムソン線となる。
- 等力点の垂足三角形は正三角形となる。

内部のPの垂足三角形の頂点について、以下の等式が成り立つ。これはカルノーの定理 (垂線)と呼ばれる[3]。 垂足三角形の外接円を垂足円(Pedal circle)という[4]。ただし三角形の外接円上の点の垂足円は定義できない、または、半径が無限大である円として捉える(シムソン線と一致する)。
三角形の外接円上にない点PについてPの垂足円とPの等角共役点P*の垂足円は一致する。また、垂足円の中心はPとP*の中点であることが知られている[7]。
例えばPが垂心であるとき垂足円は九点円であり、P*は外心なのでこの垂足円も九点円になる。Pが内心であるとき内接円である。
Pの垂足三角形の各頂点を垂足円の中心で鏡映した点の成す三角形と、元の三角形は配景の関係にある[8]。この配景の中心をPのpedal antipodal perspectorという。例えば、それぞれ内心、垂心のpedal antipodal perspectorはナーゲル点、プラソロフ点である。
等角共役点の垂足円
垂足円に対する垂足三角形の対蹠点
関連
出典
外部リンク
垂足三角形
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三角形 ABC が斜三角形(英語版)(直角を含まない)ならば、もとの三角形の垂心に関する垂足三角形(英語版) (pedal triangle) を、単にその三角形の垂足三角形 (orthic triangle, altitude triangle) と呼ぶ。つまり、斜三角形のすべての頂垂線の足の成す三角形 DEF が垂足三角形である。垂足三角形 DEF の内心は、もとの三角形 ABC の垂心に一致する(p. 292, See also: Corollary 5.5, p. 318)。 垂足三角形の頂点に対する三線座標系(英語版)は以下で与えられる: D = 0 : sec B : sec C, E = sec A : 0 : sec C, F = sec A : sec B : 0. 垂足三角形の延長辺(英語版)は、その基準三角形の対延長辺と三つの共線点で交わる。 任意の鋭角三角形において、周長最小となる内接三角形はその垂足三角形である。 これは1775年に提示されたファニャノの問題(英語版)の解である。垂足三角形の辺は、その外接円のもとの三角形の頂点における接線に平行である。 鋭角三角形の垂足三角形は triangular light route を与える。 三角形 ABC の各辺の中点における九点円の接線は、垂足三角形の辺に平行であり、垂足三角形に相似な三角形を成す。 垂足三角形は外接三角形(英語版)に近い関係を持つ。LA を三角形 ABC の頂点 A における外接円の接線とし、同様に各頂点に対して外接円の接線 LB, LC も定義する。三つの交点 A" := LB ∩ LC, B" := LC ∩ LA, C" := LC ∩ LA の成す三角形 A"B"C" をもとの三角形の外接三角形と呼び、その辺は三角形 ABC の外接円に頂点 A, B, C において接する。この外接三角形は垂足三角形の中心相似形(英語版)である。外接三角形の外心および、外接三角形と垂足三角形の相似の中心(英語版)はオイラー線上にある:447。 外接三角形の頂点の三線座標系は以下で与えられる: A" = −a : b : c; B" = a : −b : c; C" = a : b : −c. 垂足三角形に関するより詳細は垂心系#一般の垂足三角形(英語版)の項を参照。
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