垂足三角形とは? わかりやすく解説

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垂足三角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/07/21 17:17 UTC 版)

  元の三角形 ABC
  Pから各辺に対する垂線
  Pの垂足三角形LMN

ユークリッド幾何学において、垂足三角形(すいそくさんかくけい、:Pedal triangle)とは三角形に対して定義される三角形の一つである。

ABCA, B, Cでない点Pについて、Pから直線BC, AC, AB垂線を降ろし、垂線とそれぞれの直線の交点(垂足)をL, M, Nとする。このときLMN を垂足三角形と言う。

ABC鋭角三角形LMNの角がそれぞれ180° − 2A,180° − 2B,180° − 2Cならば、PABC垂心である[1]。日本語ではこのときのLMNのみを垂足三角形と呼ぶ場合もある。

特別な点の垂足三角形の例を挙げる。

Pが外接円上にある場合
  ABC
  ABC外接円
  Pから降ろされた垂線
  シムソン線LMN

内部のPの垂足三角形の頂点について、以下の等式が成り立つ。これはカルノーの定理 (垂線)と呼ばれる[3]

P 及びPの等角共役点P*の垂足円。

垂足三角形の外接円垂足円(Pedal circle)という[4]。ただし三角形の外接円上の点の垂足円は定義できない、または、半径無限大である円として捉える(シムソン線と一致する)。

等角共役点の垂足円

三角形の外接円上にない点PについてPの垂足円とP等角共役点P*の垂足円は一致する。また、垂足円の中心はPP*の中点であることが知られている[7]

例えばP垂心であるとき垂足円は九点円であり、P*外心なのでこの垂足円も九点円になる。P内心であるとき内接円である。

垂足円に対する垂足三角形の対蹠点

Pの垂足三角形の各頂点を垂足円の中心で鏡映した点の成す三角形と、元の三角形は配景の関係にある[8]。この配景の中心をPのpedal antipodal perspectorという。例えば、それぞれ内心、垂心のpedal antipodal perspectorはナーゲル点プラソロフ点である。

関連

出典

  1. ^ Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world”. en.wikibooks.org. 2020年10月31日閲覧。
  2. ^ a b エヴァン・チェン 著、兒玉太陽、熊谷有輝、宿田彩斗、平山楓馬 訳『数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2/15、2,15頁。 
  3. ^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry. New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. https://archive.org/details/challengingprobl00posa 
  4. ^ a b 宮本, 藤吉『英和数学新字典』(訂正第二版)岡崎屋書店、1905年、19,213頁。doi:10.11501/826188 
  5. ^ 『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂出版部、1919年、548頁。doi:10.11501/1082035 
  6. ^ Weisstein, Eric W.. “Antipedal Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
  7. ^ Honsberger, Ross (1995-01-01). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-951-3. http://dx.doi.org/10.5948/upo9780883859513 
  8. ^ ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(2)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

外部リンク


垂足三角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/05 04:37 UTC 版)

頂垂線 (三角形)」の記事における「垂足三角形」の解説

三角形 ABC が斜三角形英語版)(直角を含まない)ならば、もとの三角形垂心に関する垂足三角形(英語版) (pedal triangle) を、単にその三角形の垂足三角形 (orthic triangle, altitude triangle) と呼ぶ。つまり、斜三角形すべての垂線の足の成す三角形 DEF が垂足三角形である。垂足三角形 DEF内心は、もとの三角形 ABC の垂心一致する(p. 292, See also: Corollary 5.5, p. 318)。 垂足三角形の頂点対す三線座標系英語版)は以下で与えられる: D = 0 : sec B : sec C, E = sec A : 0 : sec C, F = sec A : sec B : 0. 垂足三角形の延長辺(英語版)は、その基準三角形の対延長辺と三つ共線点で交わる。 任意の鋭角三角形において、周長最小となる内接三角形はその垂足三角形である。 これは1775年提示されファニャノの問題英語版)の解である。垂足三角形の辺は、その外接円のもとの三角形頂点における接線に平行である。 鋭角三角形の垂足三角形は triangular light route与える。 三角形 ABC の各辺の中点における九点円接線は、垂足三角形の辺に平行であり、垂足三角形に相似三角形を成す。 垂足三角形は外接三角形英語版)に近い関係を持つ。LA三角形 ABC の頂点 A における外接円接線とし、同様に頂点に対して外接円接線 LB, LC定義する三つ交点 A" := LBLC, B" := LCLA, C" := LCLA の成す三角形 A"B"C" をもとの三角形外接三角形呼びその辺三角形 ABC の外接円頂点 A, B, C において接する。この外接三角形は垂足三角形の中心相似形英語版)である。外接三角形外心および、外接三角形と垂足三角形の相似の中心英語版)はオイラー線上にある:447外接三角形頂点三線座標系は以下で与えられる: A" = −a : b : c; B" = a : −b : c; C" = a : b : −c. 垂足三角形に関するより詳細垂心系#一般の垂足三角形(英語版)の項を参照

※この「垂足三角形」の解説は、「頂垂線 (三角形)」の解説の一部です。
「垂足三角形」を含む「頂垂線 (三角形)」の記事については、「頂垂線 (三角形)」の概要を参照ください。

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