2つの三角形 の外部の相似の中心O 。O と各頂点の距離と、図形の辺長は比例の関係にある。 幾何学 において、相似の中心 （そうじのちゅうしん、英 : homothetic center, center of similarity, center of similitude ）は、二つの図形 が相似 であるとき、その点を中心として拡大縮小（英語版 ） によって、一方の図形をもう一方の図形へ重ねることができる点 である。 単に相似中心 ともいう[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8]
2つの図形の外相似点S 。∠ABC , ∠A'B'C' は等しい。
円の相似の中心。上は外側の相似中心、下は内側の相似中心。 2つの図形が相似の中心を持つには、相似の中心において、対応する頂点との成す角が一致し、対応する点が同じ距離の比になければならない。2つの図形及びその相似の中心は、同一平面上にある 必要はない。
任意の円 はすべて相似 である。一般の位置にあり、同半径でない二つの円には内側と外側の相似中心が存在する。二つの相似中心は2円の中心と共線 （line of centers ）である[ 9]
図3:2円の相似中心。内相似点I と外相似点E 。 二円の半径r 1 , r 2 d 、相似の位置にある点の組A 1 , A 2 B 1 , B 2 与えられた2円について、様々な方法で相似中心を見つけることができる。解析幾何学 の観点では、内相似点は重み付き平均（英語版 ） （重みはもう一方の円の半径）として定義できる。内相似点と円の中心との距離の比はもう一方の円の半径の比となる。それぞれ中心(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) 、半径r 1 , r 2 C 1 , C 2 (x 0 , y 0 ) は
(
x
0
,
y
0
)
=
r
2
r
1
+
r
2
(
x
1
,
y
1
)
+
r
1
r
1
+
r
2
(
x
2
,
y
2
)
.
{\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}
図4:対応する逆相似の位置にある点通る直線はは2円の根軸上で交わる。点Q, P' とS, R' はそれぞれ逆相似。 4点は共円 である。さらにこの円と元の二円の根心 は先述の2直線の交点である。
一般に、相似中心を通る直線はそれぞれの円と二点で交わる。これら四点において、二点が対応している（homologous ; 相応、相当）とは、相似中心を通る直線とその点における半径が成す角が等しいときのことを指す[ 11] [ 12] Q, Q' が対応する点となる。相似中心とは共線であるが、対応していない点を反相応（antihomologous ; 反相当）であるという[ 13] [ 14] Q, P' のことを指す[ 13]
同じ相似中心を通る2つの直線について、反相応な点は共円である。
図4の様に三角形△EQS , △EQ'S' を想定する。
∠
Q
E
S
=
∠
Q
′
E
S
′
,
E
Q
¯
E
Q
′
¯
=
E
S
¯
E
S
′
¯
,
{\displaystyle \angle QES=\angle Q'\!ES',\quad {\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}}={\frac {\overline {ES}}{\overline {ES'}}},}
図5:2円に接するすべての円の接点は反相応
図5の様に2円の中心をO 1 , O 2 E とする。E を通る直線により、円との交点P, Q, P',Q' を決める。O 1 Q , O 2 P' T 1 T 1 Q, P' で各円と接する円になる。これは△O 1 PQ , △O 2 P'Q' の相似性と
O
1
P
¯
=
O
1
Q
¯
{\displaystyle {\overline {O_{1}P}}={\overline {O_{1}Q}}}
図6: 双方の円に外接する円の族
図7:一方に外接し、もう一方に内接する円 図8:接する円の根軸は根軸を通る。 ある2円について、2円に接するすべての円の根心は同一であり、また2円の相似中心と一致する。図8のように、相似中心E を通る2つの直線が与円と交わっているとし、その線上の反相応点を接点とする円T 1 , T 2 T 1 , T 2 E を通る。
図5の様にすべての接点が共線であるとき、相似性より
E
P
¯
E
P
′
¯
=
E
Q
¯
E
Q
′
¯
;
E
P
¯
⋅
E
Q
′
¯
=
E
Q
¯
⋅
E
P
′
¯
.
{\displaystyle {\frac {\overline {EP}}{\overline {EP'}}}={\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}};\quad {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}.}
図9:3円と相似中心。3つの外相似点は一直線上 。
図9の様に3つの円が書かれた平面を用意する。3円の半径の比と同じ分、対応する中心から垂直に上に上がった点A',B',C' を書く。この3点のうち2点を通る直線と元の平面の交点をHAB , HBC , HAC とする。 △HAB AA', △HAB BB' の相似からが分かる。
H
A
B
B
¯
H
A
B
A
¯
=
r
B
r
A
{\displaystyle {\frac {\overline {H\!_{AB}B}}{\overline {H\!_{AB}A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}
図10:6つの相似中心は4つの直線上にある。
ここで、HAB , HBC , HAC は元の面とA',B',C' を通る面の交線上にあるから、これを元の平面において見れば、HAB , HBC , HAC の共線が示される。同様にして、他の相似中心の組においても共線が分かる。
図11:青い線は赤い円C 1 , C 2 C 1 , C 2 C 1 , C 2 C 1 , C 2
この性質を活用して、ジェルゴンヌ はアポロニウスの問題 の一般解を求めた。3つの与円について、 解円の根軸は相似中心の共線にある。勿論、共軸な円は無数に存在するので、相似中心による議論のみでは、証明は完結しないことに注意する。
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