pedal triangleとは? わかりやすく解説

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垂足三角形

(pedal triangle から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/07/21 17:17 UTC 版)

  元の三角形 ABC
  Pから各辺に対する垂線
  Pの垂足三角形LMN

ユークリッド幾何学において、垂足三角形(すいそくさんかくけい、:Pedal triangle)とは三角形に対して定義される三角形の一つである。

ABCA, B, Cでない点Pについて、Pから直線BC, AC, AB垂線を降ろし、垂線とそれぞれの直線の交点(垂足)をL, M, Nとする。このときLMN を垂足三角形と言う。

ABC鋭角三角形LMNの角がそれぞれ180° − 2A,180° − 2B,180° − 2Cならば、PABC垂心である[1]。日本語ではこのときのLMNのみを垂足三角形と呼ぶ場合もある。

特別な点の垂足三角形の例を挙げる。

Pが外接円上にある場合
  ABC
  ABC外接円
  Pから降ろされた垂線
  シムソン線LMN

内部のPの垂足三角形の頂点について、以下の等式が成り立つ。これはカルノーの定理 (垂線)と呼ばれる[3]

P 及びPの等角共役点P*の垂足円。

垂足三角形の外接円垂足円(Pedal circle)という[4]。ただし三角形の外接円上の点の垂足円は定義できない、または、半径無限大である円として捉える(シムソン線と一致する)。

等角共役点の垂足円

三角形の外接円上にない点PについてPの垂足円とP等角共役点P*の垂足円は一致する。また、垂足円の中心はPP*の中点であることが知られている[7]

例えばP垂心であるとき垂足円は九点円であり、P*外心なのでこの垂足円も九点円になる。P内心であるとき内接円である。

垂足円に対する垂足三角形の対蹠点

Pの垂足三角形の各頂点を垂足円の中心で鏡映した点の成す三角形と、元の三角形は配景の関係にある[8]。この配景の中心をPのpedal antipodal perspectorという。例えば、それぞれ内心、垂心のpedal antipodal perspectorはナーゲル点プラソロフ点である。

関連

出典

  1. ^ Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world”. en.wikibooks.org. 2020年10月31日閲覧。
  2. ^ a b エヴァン・チェン 著、兒玉太陽、熊谷有輝、宿田彩斗、平山楓馬 訳『数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2/15、2,15頁。 
  3. ^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging problems in geometry. New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. https://archive.org/details/challengingprobl00posa 
  4. ^ a b 宮本, 藤吉『英和数学新字典』(訂正第二版)岡崎屋書店、1905年、19,213頁。doi:10.11501/826188 
  5. ^ 『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂出版部、1919年、548頁。doi:10.11501/1082035 
  6. ^ Weisstein, Eric W.. “Antipedal Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
  7. ^ Honsberger, Ross (1995-01-01). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-951-3. http://dx.doi.org/10.5948/upo9780883859513 
  8. ^ ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(2)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

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