プラソロフ点

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プラソロフ点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/25 23:57 UTC 版)

ユークリッド幾何学において、プラソロフ点（プラソロフてん、英: Prasolov point）は、三角形の中心の一つである。クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(68)として登録されている。名称はロシアの数学者、ヴィクトル・ヴァシーリエヴィッチ・プラソロフが著書「Задачи по планиметрии」（面積測定の問題）で証明したことに由来する。

定義

第二オイラー三角形△H'_aH'_bH'_c:垂足三角形を九点円の中心で鏡映した三角形、プラソロフ点:元の三角形と第二オイラー三角形の配景の中心

△ABCについて、九点円の中心をN、垂足三角形を△H_aH_bH_cとする。また、H_a,H_b,H_cをそれぞれNで鏡映した点をH'_a,H'_b,H'_cとする。△ABCと△H'_aH'_bH'_c（第二オイラー三角形,2nd Euler triangle）の配景の中心、つまりAH'_a,BH'_b,CH'_cの交点をプラソロフ点という。

性質

• H_a,H_b,H_cを中心とし、それぞれA,B,Cを通る円の根心はプラソロフ点である。
• △DEFを外心の擬調和三角形、D,E,FをそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をD',E',F'とする。△ABCと△D'E'F' （外心フールマン三角形）の配景の中心はプラソロフ点である。
• 九点円の中心、類似重心と共線である。
• 垂足三角形の垂足三角形と元の三角形の配景の中心X(24)の等角共役点である。X(24)はオイラー線上にある。
• ジェラベク双曲線上にある。
• プラソロフ点の重心座標は以下の式で表される。

$\tan 2A:\tan 2B:\tan 2C$