擬調和三角形とは？わかりやすく解説

ユークリッド幾何学において、擬調和三角形^[1]（ぎちょうわさんかくけい、英: Circumcevian triangle）は、三角形と点に対する特別な三角形の一つである^[2]。

定義

元の三角形 $△ ABC$

  点 $P$

   $△ ABC$ の外接円と、 $△ ABC$ の頂点と $P$ を結ぶ直線

   $P$ の擬調和三角形 $△ A'B'C'$

$△ ABC$ と点 $P$ に対して、 $AP, BP, CP$ と $△ ABC$ の外接円の $A, B, C$ でない方の交点を $A', B', C'$ とする。 $△ A'B'C'$ を $P$ の擬調和三角形と言う^[3]。

小倉金之助は次の定義を採用した^[1]。

　直線 $AP, BP, CP$ 上にある点 $A', B', C'$ が $AP ・ A'P = BP ・ B'P = CP ・ C'P$ を満たす。

方べきの定理より、前者の定義と一致することが確認できる。

例

内心の擬調和三角形はcircumcircle mid-arc triangle（circummidarc triangle）である^[4]^[5]^[6]。
重心の擬調和三角形はcircum-medial triangleである^[7]。
垂心の擬調和三角形はcircum-orthic triangleである^[8]。

座標

$a,b,c$ を $△ ABC$ の辺の長さ、 $α : β : γ$ を $P$ の三線座標とすると、 $P$ の擬調和三角形 $△ A'B'C'$ の頂点の三線座標は以下の様に与えられる^[2]。 ${\begin{array}{rccccc}A'=&-a\beta \gamma &:&(b\gamma +c\beta )\beta &:&(b\gamma +c\beta )\gamma \\B'=&(c\alpha +a\gamma )\alpha &:&-b\gamma \alpha &:&(c\alpha +a\gamma )\gamma \\C'=&(a\beta +b\alpha )\alpha &:&(a\beta +b\alpha )\beta &:&-c\alpha \beta \end{array}}$

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