七円定理

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七円定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/18 09:05 UTC 版)

七円定理

幾何学における、七円定理（なな（しち）えんていり、英語: seven circles theorem）はユークリッド平面上の7つの円に関する定理である。 6つの円O₁,O₂,O₃,O₄,O₅,O₆がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円O₇と（内部または外部で）接しているとする。O₇との接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）とO₇の接点を結んだ直線延べ3本は共点である。1974年、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、初等幾何学的な証明が発見された。

証明

スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

補題

以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦A₁A₄,A₂A₅,A₃A₆が一点Pで交わることと、A₁A₂・A₃A₄・A₅A₆ = A₂A₃・A₄A₅・A₆A₁が成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{A_{4}A_{5}}}={\frac {A_{1}P}{A_{5}P}},{\frac {A_{3}A_{4}}{A_{6}A_{1}}}={\frac {A_{3}P}{A_{1}P}},{\frac {A_{5}A_{6}}{A_{2}A_{3}}}={\frac {A_{5}P}{A_{3}P}}}$