八円定理とは？わかりやすく解説

幾何学において、八円定理（はちえんていり、英語: Eight circles theorem,Dao's eight circles theorem ）またはダオの八円定理は、8つの円に関する定理である^[1]。ある円上の6つの点 $A 1, A 2,..., A 6$ と他の円上の6点 $B 1, B 2,..., B 6$ について、i=1,2,3,4,5で、 $A i, A i +1, B i, B i +1$ が共円ならば、 $A 6, A 1, B 6, B 1$ も共円である。さらに、円 $A i, A i +1, B i, B i +1$ の中心を $C i$ として、直線 $C 1 C 4, C 2, C 5, C 3 C 6$ は共点である。

証明

証明の序盤は、ダオによりCanadian Mathematical Society（英語版）のCrux Mathematicorum（英語版）の3845番に掲載されている^[2]。

まず、ミケルの六円定理（英語版）により、i=1,2,3で成り立つとき、4つの連鎖ならば $A 1, A 4, B 1, B 4$ は共円でなければならない。そして円 $A 1, A 4, B 1, B 4$ と $A 4, A 5, B 4, B 5$ と $A 5, A 6, B 5, B 6$ に同様にミケルの六円定理を使うことで、 $A 6, A 1, B 6, B 1$ の共円が示される。同様の議論は偶数個の円においても示せる。

$C 1 C 4, C 2, C 5, C 3 C 6$ が共点であることは、これら円の中心が成す六角形が、 $A i, B i$ の2円の中心を焦点とする円錐曲線に接することを示すことにより、ブリアンションの定理で示される。この証明はCrux Mathematicorumの問題3945でクリス・フィッシャーによって大まかに証明され、ミシェル・バタイユによって補完された^[3]。以下の補題の $l, l'$ に $A i B i, A i +1 B i +1$ を当てはめる事により示される。

またこのほかにもGábor Gévay と Ákos G. Horváthによる高度な知識を使った証明や、Nguyen Chuong Chiによる初等的な解法もある^[4]^[5]^[6]。

補題

3つの円 $A,B,C$ （中心も同名）があり、 $A,C$ はそれぞれ $A 1, A 2$ で、 $B,C$ はそれぞれ $B 1, B 2$ で交わっている。 $A,B$ を焦点とするある円錐曲線が線分 $A 1 B 2, A 2 B 1$ の垂直二等分線 $l, l'$ に接することを示す。 $CA,CB$ は $A 1 A 2, B 1 B 2$ の垂直二等分線であることから、 $∠(l, r)$ で直線 $l, r$ の成す有向角を表すとして、

$\angle (CA,l)=\angle (A_{1}A_{2},A_{1}B_{1}),\quad \angle (BA,l')=\angle (B_{1}B_{2},B_{2}A_{2})$

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補題

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