三次曲線

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三次曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/16 15:50 UTC 版)

三次曲線の種類

数学において、三次曲線（さんじきょくせん、英: cubic）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（英: cubic plane curve）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

$F(x,y,z)=0$

特異的な三次曲線 y² = x² ⋅ (x + 1). 媒介変数表示 t ↦ (t² – 1, t ⋅ (t² – 1)).

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

三角形の三次曲線

△ABCの辺について $a=|BC|,$

△ABCのノイベルグ三次曲線 Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をX_A, X_B, X_CとしAX_A, BX_B, CX_Cが一点で交わるようなXの軌跡である。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

17点三次曲線（黒い線）。17点三次曲線上のX ,X*,X(2)(重心)は共線である。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

ダルブー三次曲線、 XのBC, CA, ABに対する垂足三角形が元の三角形と配景的であるようなXの軌跡

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

リュカ三次曲線 、 Xののチェバ三角形 がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

第一ブロカール三次曲線、第一ブロカール三角形を△A'B'C' とし、XA', XB', XC'とBC, CA, CB,のそれぞれの交点が共線であるような点Xの軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

第一等積三次曲線:X のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

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• Bix, Robert (2006), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves (Second ed.), New York: Springer, ISBN 978-0387-31802-8, MR 2242725, Zbl 1106.14014 .
• Cerin, Zvonko (1998), “Locus properties of the Neuberg cubic”, Journal of Geometry 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237 .
• Cerin, Zvonko (1999), “On the cubic of Napoleon”, Journal of Geometry 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), “Some cubic curves associated with a triangle”, Journal of Geometry 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)”, Journal of Geometry 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)”, Journal of Geometry 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061 .
• EhrmannJean-Pierre & GibertBernard「A Morley configuration」『Forum Geometricorum』第1巻、51–58頁、2001年。 .
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• GibertBernard「Orthocorrespondence and orthopivotal cubics」『Forum Geometricorum』第3巻、1–27頁、2003年。 .
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• KimberlingClark「Cubics associated with triangles of equal areas」『Forum Geometricorum』第1巻、161–171頁、2001年。https://www.researchgate.net/publication/241067469。 .
• Lang, Fred (2002), “Geometry and group structures of some cubics”, Forum Geometricorum 2: 135–146 .
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• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), Dublin: Hodges, Foster, and Figgis, https://books.google.com/books?id=pYGj2xY5Le4C .

外部リンク

• A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
• Points on Cubics
• Cubics in the Triangle Plane
• Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
• “Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University [2016]”. YouTube. Graduate Mathematics (June 27, 2018). 2024年3月24日閲覧。 lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday