代数多様体の特異点

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代数多様体の特異点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/23 19:28 UTC 版)

代数幾何学という数学の分野において、代数多様体 V の特異点 (singular point of an algebraic variety) は、この点において多様体の接空間をきちんと決められないという幾何学的な意味で'特別な'（つまり特異な）点 P である。実数体上定義された多様体の場合には、この概念は非局所平坦性（英語版）の概念を一般化する。代数多様体の特異でない点を正則 (regular) という。特異点を全く持たない代数多様体を非特異 (non singular) あるいは滑らか (smooth) という。

例えば、方程式

y² − x²(x + 1) = 0

の定める平面代数曲線（三次曲線）は、原点 (0,0) で自己交叉し、したがって原点は曲線の二重点である。それは特異である、なぜならばただ1つの接線がそこで正しく定義されないからである。

より一般に F を滑らかな関数として陰関数

F(x,y) = 0,

で定義される平面曲線がある点で特異であるとは、F のテイラー級数のその点での位数（英語版）が少なくとも 2 であるということである。

その理由は、微分学において、そのような曲線の点 (x₀, y₀) における接線は、左辺がテイラー展開の一次の項であるような方程式

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0}),}$