媒介表示曲線とは? わかりやすく解説

媒介表示曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/21 05:04 UTC 版)

曲線の特異点」の記事における「媒介表示曲線」の解説

R2 において媒介変数表示された曲線関数 g: R → R2, g(t) = (g1(t), g2(t)) の像として定義される特異点d g 1 d t = d g 2 d t = 0 {\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0} であるような点である。 多く曲線はどちらの仕方でも定義できるが、2つの定義は一致しないかもしれない例え尖点代数曲線 x3 − y2 = 0 としても、媒介変数曲線 g(t) = (t2,t3) としても定義できて、両方の定義は原点において特異点与える。しかしながら、y2 − x3 − x2 = 0原点におけるノードのような結節点代数曲線として考えれば曲線の特異点であるが、g(t) = (t2 − 1, t(t2 − 1)) として径数付ければ、g'(t) は決し消えず、したがってノード上で定義された媒介表示曲線の特異点「ではない」。 径数付けを選ぶときには注意が必要である。例え直線 y = 0 は原点特異性をもつ g(t) = (t3, 0) によって径数付けできる。g(t) = (t,0) によって径数付けされたときには非特異である。したがって曲線の特異点よりもむしろ滑らかな写像の特異点英語版)を議論するのが技術的により正しい。 上の定義は滑らかな関数零点集合 f−1(0) として定義される陰伏曲線カバーするように拡張でき、代数多様体だけを考える必要はない。定義はより高次元曲線カバーするように拡張できるハスラー・ホイットニーによる定理次のように述べている。 定理 (Whitney) Rn任意の閉集合はある滑らかな関数 f: Rn → R に対する f−1(0) の解集合として生じる。 任意の媒介表示曲線は陰伏曲線として定義することもでき、曲線の特異点分類代数多様体の特異点分類として研究できる

※この「媒介表示曲線」の解説は、「曲線の特異点」の解説の一部です。
「媒介表示曲線」を含む「曲線の特異点」の記事については、「曲線の特異点」の概要を参照ください。

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