ザリスキーの方法

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ザリスキーの方法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 01:04 UTC 版)

「特異点解消」の記事における「ザリスキーの方法」の解説

曲面の特異点を解消するザリスキーの方法は、曲面の正規化（これは余次元1の特異点を除去する）と点でのブローアップ（これは余次元2の特異点をより良いものにするが、新しい余次元1の特異点が生まれるかもしれない）を交互に繰り返すというものである。これで曲面の特異点を解消できるのであるが、ザリスキーはもっと持って回った方法を使った。彼はまず局所一意化定理（英語版）を証明し、曲面の任意の付値が解消できることを示した。そしてザリスキー・リーマン曲面がコンパクトであることを使って、曲面の有限集合であって各付値の中心がこれらのうちの少なくとも1つの曲面上で単純（simple）であるようなものを見つけることが可能であることを示した。最後に、曲面の間の双有理写像を調べて、この曲面の有限集合を1つの非特異曲面に置き換えれることを示した。

ザリスキーの方法

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「特異点解消」の記事における「ザリスキーの方法」の解説

標数0の3次元代数多様体の特異点解消は Zariski (1944) で証明された。彼はまず付値環の局所一意化に関する定理を証明した。これは任意の標数0の体上の任意次元の代数多様体について成り立つ。次に付値のザリスキー・リーマン空間（英語版）が（任意の体上の任意次元の代数多様体に対して）準コンパクトであることを示した。これは、射影多様体のモデルの有限個の族が存在して、任意の付値はこれらのモデルのうちの少なくとも１つの上で滑らかな中心を持つことを意味する。最後に、与えられた2つのモデルに対して第3のモデルでそれぞれの特異点を解消しているものを見つけられることを示した。ここで代数多様体の次元が3であることを使うが、標数は任意でよい。ここが証明のもっとも難しいところである。