例および解釈とは? わかりやすく解説

例および解釈

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/06/16 07:47 UTC 版)

クラメールのパラドックス」の記事における「例および解釈」の解説

次の9点を通る三次曲線求めよう。 (0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, -1) 三次曲線方程式を Ay3 + (B + Cx) y2 + (D + Ex + Fx2) y + (G + Hx + Jx2 + Kx3) = 0 とおくと、係数次の連立方程式満たす必要がある。 ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 01 1 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 11 1 11 11 1 11 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 11 11 1 − 1 ) ( A B C D E F G H J K ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&0&0&0\\-1&1&0&-1&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\-1&1&1&-1&-1&-1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0&0&1&-1&1&-1\\1&1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1\\-1&1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\\G\\H\\J\\K\\\end{pmatrix}}=\mathbf {0} } この係数行列サイズは 9 × 10 である。もし、この行列の階数が 9 ならば、解空間次元は 1 となって三次曲線一意定まる。しかし、実際はこの行列の階数は 8 であるため、解空間次元は 2 であって、 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1), (1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) で生成される。よって、求め三次曲線は、a, b を任意の実数として、a(x3 - x) + b(y3 - y) = 0 で与えられる。この表示には1次元分の自由度がある。その原因は、上記係数行列階数が 8 であることであった連立方程式のうち1つの式は他の8つの式から導かれるであって9点目を通ることは新し条件になっていなかったのである言い換えると、上記9点のうち8点を通る三次曲線は、自動的に残る1点を通る。その意味で、上記9点は「独立」ではないと言える一般に2つ三次曲線交点となる9点独立ではない。9点のうち1点置き換えて、 (4, 2), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, -1) を通る三次曲線ならば、(x3 - x) - 10(y3 - y) = 0 と一意定まる結局 n (n + 3)/2 個の点が n 次の平面代数曲線一意決定する はほぼ正しのであるが、正確にはそれらの点が「独立」である必要があったのである

※この「例および解釈」の解説は、「クラメールのパラドックス」の解説の一部です。
「例および解釈」を含む「クラメールのパラドックス」の記事については、「クラメールのパラドックス」の概要を参照ください。

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