シュタイナーの内接楕円

ウィキペディア

シュタイナーの内接楕円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/30 19:40 UTC 版)

3頂点が(1,7), (7,5), (3,1) である三角形とシュタイナーの内接楕円。 焦点の座標は (3,5) と (13/3,11/3) になる。

幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円（シュタイナーのないせつだえん）は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である^[1]。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリー^[2]によってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている^[3] 。

シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある^[4]。

以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

三角形上の座標による表記

シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される^[1]。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

重心座標では以下のようになる。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx=0}$

性質

• シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である^[1][5]。重心を中心とする唯一の内接楕円である^[5]:p.142。
• シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$倍である^{[5]:p.146 [6]:Corollary 4.2}。これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。
• 三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである^[5]。
• シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
• シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される^[1]。

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

ただし Z は以下の式で与えられる。

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

• 複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる。（マーデンの定理（英語版））^[3]
• 長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある^{[6]:Corollary 2.4} 。
• G, F₊, F₋ を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F₊GF₋の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF₋| ± |GF₊| という式で表される^{[7]:Thm. 1}。
• シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。
• シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある^[8]。
• クラーク・キンバリングの「BICENTRIC PAIRS OF POINTS」ではP(118),U(118)として登録されており、重心座標は以下の式で表される^[9]。

${\displaystyle V=2a^{2}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2}}$

${\displaystyle f(a,b,c)=(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{4}c^{4}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}}$

として

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\quad ,\quad f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)}$

• 三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ^[10]。

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

• △ABCと重心に対する九点円錐曲線である。

出典

1. ^ ^{a b c d} Weisstein, Eric W. "Steiner Inellipse". mathworld.wolfram.com (英語).
2. ^ H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (D. Antin 英訳), Dover, New York, 1965, problem 98. なお、邦訳には高津巌訳『数学ノ勝利』、根上生也訳『数学100の勝利』(3分冊)がある。Webcat Plus
3. ^ ^{a b} Kalman, Dan (2008), “An elementary proof of Marden's theorem”, American Mathematical Monthly 115 (4): 330–338, MR2398412, http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf .
4. ^ Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". mathworld.wolfram.com (英語).
5. ^ ^{a b c d} Chakerian, G. D. (1979), “A distorted view of geometry”, in Honsberger, Ross, Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146 .
6. ^ ^{a b} Minda, D.; Phelps, S. (2008), “Triangles, ellipses, and cubic polynomials”, American Mathematical Monthly 115 (8): 679–689, MR2456092, http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/steve_phelps/minda%20phelps.pdf .
7. ^ Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
8. ^ Thomson cubic
9. ^ “BICENTRIC PAIRS P(118)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月26日閲覧。
10. ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.