三角形 のシュタイナー楕円。三角形の内部の線は中線 であり、交点である重心はこの楕円の中心である。幾何学 における三角形 のシュタイナー楕円 （シュタイナーだえん）は、三角形の3頂点 を通り重心 を中心とする楕円 である[1] ヤコブ・シュタイナー に由来する。シュタイナーの内接楕円 との比較から、シュタイナーの外接 楕円と呼ばれることもある。
シュタイナー楕円の面積は元の三角形の 4 π 3 3 , {\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},} 外接円 を含む）のうち、最も面積が小さい[1]
以下の解説で特に説明がない場合、 a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。
三角形上の座標による表記 シュタイナー楕円の三線座標 による表記は、以下の式で表される[1]
b c y z + c a z x + a b x y = 0 {\displaystyle bcyz+cazx+abxy=0} 重心座標の場合は以下の式になる。
y z + z x + x y = 0 {\displaystyle yz+zx+xy=0} 軸と焦点 長軸と短軸の長さは以下の式で表される[1]
1 3 a 2 + b 2 + c 2 ± 2 Z , {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},} 焦点間の長さは以下になる。
2 3 Z {\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}} ただし、Ｚ は以下の式で表される値である。
Z = a 4 + b 4 + c 4 − a 2 b 2 − b 2 c 2 − c 2 a 2 . {\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.} 2つの焦点は Bickart points と呼ばれ、クラーク・キンバリングのBICENTRIC PAIRS OF POINTSではP(116),U(116)として登録されている[2] 重心座標 は以下の式で表される。
V = 2 a 3 b 2 c 2 Z 3 , W = b 6 c 6 + c 6 a 6 + a 6 b 6 − 3 a 4 b 4 c 4 − ( b 4 c 4 + c 4 a 4 + a 4 b 4 ) Z 2 {\displaystyle V=2a^{3}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2}}
f ( a , b , c ) = 2 ( b 2 − c 2 ) ( a 4 − b 2 c 2 − a 2 Z ) + V − W {\displaystyle f(a,b,c)=2(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{2}c^{2}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}}
として、
f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) f ( a , c , b ) : f ( b , a , c ) : f ( c , b , a ) {\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\quad \quad f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)}
その他 出典 
