シュタイナー点

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シュタイナー点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/01 05:47 UTC 版)

ユークリッド幾何学において、シュタイナー点（シュタイナーてん、英: Steiner point）は三角形の中心の一つである。クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(99)として登録されている。1826年、スイスの数学者ヤコブ・シュタイナーによって言及され、1886年、ヨーゼフ・ノイベルグによって名付けられた。なお、頂点との距離の和を最小にする点をシュタイナー点と言う場合もある（シュタイナー点 (計算幾何学)を参照）。

定義

シュタイナー点の作図法

  三角形ABC

シュタイナー点で交わる線:

  B'C'に平行な A を通る直線L_A

  C'A'に平行な B を通る直線L_B

  A'B'に平行なCを通る直線L_C

シュタイナー点の定義は以下のとおりである（これはシュタイナー自身が採用した定義ではない）。

三角形ABC の外心をO、類似重心をK とする。OK を直径とする円（ブロカール円）とBCの垂直二等分線のOでない方の交点をA'とする。B',C'についても同様に定める（この三角形A'B'C'はブロカール三角形と呼ばれる）。L_AをAを通りB'C' に平行な直線とする。L_B,L_Cも同様に定義する。このときL_A,L_B,L_Cは共点で、その点を三角形ABCのシュタイナー点と言う。

「Encyclopedia of Triangle Centers」で採用された定義は以下の通りである。

三角形 ABC についてO,Kを上記のように定める。l_Aを、OK をBCで鏡映した点とする。l_B,l_Cも同様に定義する。l_Bとl_Cの交点をA″ 、l_Cとl_A の交点をB″、l_Aとl_Bの交点をC″とすると、直線 AA″, BB″ , CC″ は共点であり、その点をシュタイナー点という。

三線座標

シュタイナー点の三線座標は以下の様に与えられる。

${\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}$

A を通るB'C'の垂線、Bを通るC'A'の垂線、Cを通るA'B'の垂線はタリ―点で交わる。

シュタイナー点と似た性質を持つ点がタリ―点である。三角形ABCの外接円の、シュタイナー点の対蹠点をタリ―点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(98)として登録されている。タリ―点の三線座標は以下の式で与えられる。

$\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )$