三角形の決定

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三角形の決定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/25 03:47 UTC 版)

三角形の決定（ラテン語: solutio triangulorum）は、三角形の辺と角のいくつかが与えられた場合に、残りのものを求める三角法の問題である。測地学、天文学、建築、航法などに応用される。

平面三角形の決定

三角形には6つの特徴が存在し、上図の3辺（a, b, c）と3角（α, β, γ）である。古典的な平面三角形の問題は6つの特徴のうち3つが与えられた上で、残りを求めることであり、以下のいずれかの条件が与えられれば、一意に定まる^[1][2]。

• 3辺 (SSS)
• 2辺とその間の角 (SAS)
• 2辺と1角 (SSA)
• 1辺と両端の角 (ASA)
• 1辺と2角 (AAS).

すべての場合において、少なくとも1辺の長さが与えられる必要がある。角度のみでは、相似な三角形が解となり、辺の長さを求めることはできない。

三角法の関係式

標準的な解法は基本的な関係式を適用して求めることである。

余弦定理

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$

3辺a, b, cが与えられた場合は、余弦定理から角度α, βを求めることができる^[3]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$

2辺a, bとその間の角γが与えられた場合は、残りの1辺を余弦定理により求めることができる^[4]。

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$

すべての場合で解が存在するとは限らず、角に隣接する辺の長さが他の辺より小さい場合にのみ一意に定まる。2辺 b, cと角βが与えられた場合は、 正弦定理よりγを求めることができる^[5]。

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$

1辺cと両端の2角α, βが与えられたとする。

内角の和から、γ = 180° − α − βである。

残りの2辺は正弦定理により求めることができる^[6]。

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}$