三角形の重心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/21 07:56 UTC 版)
三角形の重心は、三角形の三つの中線（各中線は各頂点とその対辺の中点を結ぶ）の交点である。三角形の重心は、その三角形のオイラー線上にあり、オイラー線はまた垂心や外心といった種々の中心も結ぶ。 重心を通る三つの中線は何れもその三角形の面積を二分するが、これは重心を通る他の種類の線に対しては成り立たない。等分割から最も遠い状況は、重心を通る直線が三角形の面と平行なるときに生じ、この場合にできる小さい三角形と台形に関して、台形の面積はもとの三角形の 5/9 になる。 頂点を A, B, C, 重心を G とする三角形の載った平面上の任意の点を P とすれば、三頂点からの P の距離の平方和は、三頂点からの重心 G の距離の平方和よりも P, G 間の距離の平方の三倍だけ大きい。式で書けば PA 2 + PB 2 + PC 2 = GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3 PG 2 {\displaystyle {\text{PA}}^{2}+{\text{PB}}^{2}+{\text{PC}}^{2}={\text{GA}}^{2}+{\text{GB}}^{2}+{\text{GC}}^{2}+3{\text{PG}}^{2}} が成り立つ。三角形の三辺の長さの平方和は、重心から各頂点への距離の平方和の三倍： AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3 ( GA 2 + GB 2 + GC 2 ) {\displaystyle {\text{AB}}^{2}+{\text{BC}}^{2}+{\text{CA}}^{2}=3({\text{GA}}^{2}+{\text{GB}}^{2}+{\text{GC}}^{2})} である。三角形の重心は、三角形の辺からの向き付けられた距離の積を最大化する。 三角形の重心はその中線を 2 : 1 に分ける、つまり各辺から対する頂点へ結んだ距離の ⅓ の位置にある。その各座標は三頂点の座標の算術平均になっている。つまり、三頂点 L = (xL, yL), M = (xM, yM), N = (xN, yN) に対し、幾何中心 C（三角形幾何学（ドイツ語版）では C と書くのがふつう）は C = 1 3 ( L + M + N ) = ( 1 3 ( x L + x M + x N ) , 1 3 ( y L + y M + y N ) ) {\displaystyle C={\frac {1}{3}}(L+M+N)=({\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}))} で与えられる。したがって、この重心は重心座標系（英語版）において 1/3 : 1/3 : 1/3 の位置にある。 三線座標系（英語版）において三角形の重心は、三角形の各辺の長さ a, b, c および各頂点の角度 L, M, N を用いて以下のような形（いずれも同値）: C = 1 a : 1 b : 1 c = b c : c a : a b = csc L : csc M : csc N = cos L + cos M ⋅ cos N : cos M + cos N ⋅ cos L : cos N + cos L ⋅ cos M = sec L + sec M ⋅ sec N : sec M + sec N ⋅ sec L : sec N + sec L ⋅ sec M {\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M\end{aligned}}} に書ける。 三角形の各辺を重心からの垂線との交点で分割した時、分割後の長さの辺を持つ各正方形を図のように時計回りの順番の奇偶でグループ分けすると、グループ別合計面積は互いに等しくなっている。 三角形の一辺を重心からの垂線との交点で分割した時、分割後の長さそれぞれの辺を持つ正方形同士の面積の差は、他の二辺それぞれの長さの辺を持つ正方形同士の面積の差の三分の一となっている。
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