さらなる一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/14 03:28 UTC 版)
4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。 円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の同じ側（いずれも内側か、または外側）から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。 円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の異なる側（一方が内側で他方が外側）から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し内側から共通接線を引いたときの（共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの）接点間の距離とする。 ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。
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さらなる一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/28 01:58 UTC 版)
「一般ガウス・ボネの定理」の記事における「さらなる一般化」の解説
2次元でのガウス・ボネの定理と同様に、一般次元においても M が境界を持つ多様体のときへ、一般化することができる。 ガウス・ボネの定理は特性類の理論の特別な状況とみなすことができる。ガウス・ボネの定理における被積分函数はオイラー類であり、オイラー類は最高次の微分形式であるので、閉形式である。オイラー類の自然性により、リーマン計量を変化させても同一のコホモロジー類のままであることがわかる。したがって、計量を変化させてもオイラー類の積分が一定であり、これが計量によらない微分構造の不変量を定める。 ガウス・ボネの定理のさらなる一般化は、アティヤ＝シンガーの指数定理である。D をベクトルバンドルの（弱）楕円型微分作用素（英語版）とする。これは D の主表象が同型であることを意味する。（強い楕円性は、さらに主表象が正定値であることを意味する。）D* を随伴作用素とすると、指数は dim(ker(D)) - dim(ker(D*)) と定義され、楕円性によりこれは有限となる。指数定理は解析的指数は楕円型作用素をなめらかに変化させても一定であるという定理である。実際、解析的指数は位相的指数に等しく、これは特性類により表示される。2次元ガウス・ボネの定理は、位相指数がベッチ数のい定義され、解析的指数はガウス・ボネの被積分函数で定義される場合として解釈できる。
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