さらなる不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 05:18 UTC 版)
「ドゥーブのマルチンゲール不等式」の記事における「さらなる不等式」の解説
同じくドゥーブによる、（劣）マルチンゲールに関する一連の不等式がある。X への仮定は上記と同じとして、 S t = sup 0 ≤ s ≤ t X s {\displaystyle S_{t}=\sup _{0\leq s\leq t}X_{s}} とおく。このとき p ≥ 1 に対し Lp-ノルムを ‖ X t ‖ p = ‖ X t ‖ L p ( Ω , F , P ) = ( E [ | X t | p ] ) 1 p {\displaystyle \|X_{t}\|_{p}=\|X_{t}\|_{L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}=\left(\mathbf {E} \left[|X_{t}|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}} と書くことにする。このとき、先述のドゥーブの不等式は P [ S T ≥ C ] ≤ ‖ X T ‖ 1 C {\displaystyle \mathbf {P} \left[S_{T}\geq C\right]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}} となる。 p = 1 のとき、次の不等式が成り立つ。 ‖ S T ‖ 1 ≤ e e − 1 ( 1 + ‖ X T log + X T ‖ 1 ) {\displaystyle \|S_{T}\|_{1}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{1}\right)} ここで "log+" は自然対数と定数関数0の小さくないほうをとる関数(max(log(x),0) )を表す。 さらに p > 1 に対しては ‖ X T ‖ p ≤ ‖ S T ‖ p ≤ p p − 1 ‖ X T ‖ p {\displaystyle \|X_{T}\|_{p}\leq \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|X_{T}\|_{p}} が成り立つ。
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