楕円型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
SL(2, C) の楕円型要素は P 1 = [ exp ( i θ / 2 ) 0 0 exp ( − i θ / 2 ) ] {\displaystyle P_{1}=\left[{\begin{matrix}\exp(i\theta /2)&0\\0&\exp(-i\theta /2)\end{matrix}}\right]} であり、 ξ = 0, ∞ を不動点として持つ。作用を X ↦ P1 X P1* のように書き、項を集めると、スピノル写像により次の制限ローレンツ変換に対応づけられる。 Q 1 = [ 1 0 0 0 0 cos ( θ ) − sin ( θ ) 0 0 sin ( θ ) cos ( θ ) 0 0 0 0 1 ] = exp ( θ [ 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ) {\displaystyle Q_{1}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]=\exp \left(\theta \left[{\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\right)} この変換は z 軸回りの回転、exp(iθJz) を表わす。この生成する1パラメータ部分群は θ を実変数とすることにより得られる。 対応する天球上の連続変換は（恒等変換以外は）全てが北極と南極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は変換により緯線上を移動する。よって、この群は θ が増えるに従って z 軸まわりの連続な反時計周り回転を与える。スピノル写像での明らかな「角度倍増」は「スピノル二重被覆」の特徴的な特性である。
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