楕円型正則性定理とは? わかりやすく解説

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楕円型正則性定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/06 05:07 UTC 版)

楕円型作用素」の記事における「楕円型正則性定理」の解説

L を次数 2k楕円型作用素で、係数2k連続的微分可能あるようものとする。ある関数 f と適当な境界値与えられたとき、L に対すディリクレ問題を解くことは、Lu = f満たし適切な境界値法線微分を持つ函数 u を見つけることである。楕円型作用素対するその存在理論は、ガーディングの不等式ラックスミルグラム補題用いることで考えられるが、そこではソボレフ空間 Hk 内のある弱解 u の存在のみが保証される弱解 u は、表現 Lu が意味をなさないほど十分な微分持たないこともあり得るので、この状況は全く不十分である。 楕円型正則性定理(elliptic regularity theorem)では、f が二乗可積分であるならば、u は実際に 2k 個の二乗可積分弱微分を持つことが示されている。特に、f が無限階微分可能であるならば、u もそのようになる。 この性質を示す任意の微分作用素は準楕円型作用素呼ばれる。したがってすべての楕円型作用素は準楕円型である。この性質また、ある楕円型作用素すべての基本解は、0 を含まない任意の近傍において無限階微分可能であることも意味する応用として、コーシー・リーマンの方程式満たすある函数 f {\displaystyle f} を考える。コーシー・リーマンの方程式楕円型作用素形成するため、 f {\displaystyle f} は滑らかとなる。

※この「楕円型正則性定理」の解説は、「楕円型作用素」の解説の一部です。
「楕円型正則性定理」を含む「楕円型作用素」の記事については、「楕円型作用素」の概要を参照ください。

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