楕円対数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:49 UTC 版)
前述の通り、ヴァイエルシュトラスの楕円関数によって定義される写像 z ↦ [ 1 : ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) ] {\displaystyle z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)]} が群同型であることから、その逆写像も群同型となる。なおかつ、ヴァイエルシュトラスの楕円関数の性質から、この逆写像は楕円積分を用いてあらわされる。具体的には楕円曲線 E が E : y 2 = f ( x ) = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle E:y^{2}=f(x)=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} とあらわされているとき、ヴァイエルシュトラス関数の周期 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} によって生成される格子をΛとおくと、楕円曲線上の点 P = [ 1 : x : y ] ∈ E ( R ) {\displaystyle P=[1:x:y]\in E(\mathbb {R} )} に対し、 ϕ ( P ) ≡ { 0 P = O ∫ x ∞ d t f ( t ) y ≥ 0 − ϕ ( − P ) y < 0 ( mod Λ ) {\displaystyle \phi (P)\equiv {\begin{cases}0&P=O\\\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {f(t)}}}&y\geq 0\\-\phi (-P)&y<0\end{cases}}{\pmod {\Lambda }}} と定めると、 φは E(R) から R/Λ への群同型を定める。そこで、E(K) の生成元を P 1 , P 2 , … , P r {\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{r}} とおくと K-有理点 P = m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T ∈ E ( K ) {\displaystyle P=m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T\in E(K)} （Tは有限位数の点）に対し ϕ ( P ) ≡ ϕ ( m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T ) ≡ m 1 ϕ ( P 1 ) + m 2 ϕ ( P 2 ) + ⋯ + m r ϕ ( P r ) + ϕ ( T ) ( mod Λ ) {\displaystyle \phi (P)\equiv \phi (m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T)\equiv m_{1}\phi (P_{1})+m_{2}\phi (P_{2})+\cdots +m_{r}\phi (P_{r})+\phi (T){\pmod {\Lambda }}} が成り立つ。この写像φを楕円対数と呼ぶ。 通常の対数関数の一次形式の下からの評価に関するベイカーの定理に対応し、楕円対数の下からの評価が知られている。次の不等式が成り立つような、E と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数 c 1 , c 2 , c 3 {\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}} がとれる。 B = max | m i | {\displaystyle B=\max \left|m_{i}\right|} とおくと、格子Λ上の任意の点 l 1 ω 1 + l 2 ω 2 {\displaystyle l_{1}\omega _{1}+l_{2}\omega _{2}} に対して | m 1 ϕ ( P 1 ) + m 2 ϕ ( P 2 ) + ⋯ + m r ϕ ( P r ) + ϕ ( T ) + l 1 ω 1 + l 2 ω 2 | > exp − c 1 ( log B + c 2 ) ( log log B + c 3 ) . {\displaystyle \left|m_{1}\phi (P_{1})+m_{2}\phi (P_{2})+\cdots +m_{r}\phi (P_{r})+\phi (T)+l_{1}\omega _{1}+l_{2}\omega _{2}\right|>\exp -c_{1}(\log B+c_{2})(\log \log B+c_{3}).} 一方 P が整数点であるとき、この絶対値は B に対して指数関数的に減少する。というのは、P が整数点であるとき x = exp h x ( P ) {\displaystyle x=\exp h_{x}(P)} となる一方、標準的高さは m 1 , m 2 , … , m r {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{r}} の正定値二次形式としてあらわされることから、対数的高さも正定値二次形式で近似されるので、 ϕ ( P ) = O ( − | x | 1 / 2 ) = O ( exp − ( h x ( P ) / 2 ) ) = O ( exp − c 4 B 2 ) {\displaystyle \phi (P)=O(-|x|^{1/2})=O(\exp -(h_{x}(P)/2))=O(\exp -c_{4}B^{2})} となるからである（ c 4 > 0 {\displaystyle c_{4}>0} もE と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数である。）。このことから、整数点の大きさに対する上からの評価が得られる。 この方法は E(K) が知られているときには整数点の大きさに対する計算可能な上界を与えるが、前にも述べたように E(K) 自体を特定するアルゴリズムが知られていないため、この方法は一般の楕円曲線に対しては理論上は必ずしも有効ではない。
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