整数点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
楕円曲線上には整数点は有限個しか存在しない。すなわちxが整数であるような E(Q) の点 P = (x, y) の集合は有限集合である。一般に種数が 1 以上の代数曲線には整数点は有限個しか存在しない。これはアクセル・トゥエ（英語版）がディオファントス近似に関する定理から特別の場合について証明し、ジーゲル(C. L. Siegel)が一般の場合について証明した。この定理は、x の座標の分母が有限個の素数によってのみ割ることのできる点へと一般化される。しかし、これらの定理は計算可能性を備えていない。ベイカーは超越数論の方法をつかい、種数1の代数曲線には有限個の整数点しか存在せず、それらは計算可能であることを示した。 定理は分かりやすく定式化できて、例えば、 によると、E のワイエルシュトラスの方程式が定数 H により有界付けられた整数係数を持つ方程式であれば、x も y も整数である E の点の座標 (x, y) は、 max ( | x | , | y | ) < exp ( [ 10 6 H ] 10 6 ) {\displaystyle \max(|x|,|y|)<\exp \left(\left[10^{6}H\right]^{{10}^{6}}\right)} を満たす。 特殊な場合にはより強い結果が成り立つことが知られている。たとえば k が 0 ではない整数で、 (x, y) が不定方程式 y 2 = x 3 + k {\displaystyle y^{2}=x^{3}+k} の整数解 (x, y) であるとき、任意の正の定数 ε に対して、 k と ε のみに依存する計算可能な定数 c が存在して max ( | x | , | y | ) < exp ( c k 1 + ϵ ) {\displaystyle \max(|x|,|y|)<\exp \left(ck^{1+\epsilon }\right)} が成り立つ。 一般に、E を数体 K 上の楕円曲線、x と y をワイエルシュトラス座標とすると、x-座標が整数環 OK に属するような E(K) の点は有限個しかなく、その大きさに対して、計算可能な上界が与えられる。したがって、原理的にはそれらの点は決定可能である。 例えば、方程式 y2 = x3 + 17 は y > 0 の 8 個の整数解を持つ。 (x, y) = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378661). 別な例は、リュングレンの方程式（英語版） Y 2 = 2 X 4 − 1 {\displaystyle Y^{2}=2X^{4}-1} で、ワイエルシュトラス形式は y2 = x3 − 2x であり（ y = 2XY, x = 2X 2 とおく）、この曲線は y ≥ 0 で 4個の解しか持たない。 (x, y) = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).
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