楕円弧長と第二種不完全楕円積分の関係の詳細
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 04:13 UTC 版)
「楕円」の記事における「楕円弧長と第二種不完全楕円積分の関係の詳細」の解説
楕円を媒介変数表示 x = a cos t , y = b sin t {\displaystyle x=a\,\cos t,\,y=b\,\sin t} で表した時、 t = t 1 {\displaystyle t=t_{1}} から t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} までの弧長 L {\displaystyle L} は L = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t d t {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,dt\end{aligned}}} で求められる。これは、 a , b {\displaystyle a,b} の大小関係に関係なく成立する。 この式は第二種不完全楕円積分で表す事ができるが、 a , b {\displaystyle a,b} の大小関係や t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}} の範囲により場合分けが必要になる為、以下に詳述する。 その前に、媒介変数表示について、補足しておく。楕円の媒介変数表示には、通常 x = a cos t , y = b sin t {\displaystyle x=a\,\cos t,\,y=b\,\sin t} が用いられる。この場合、t = 0 では、点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} をとり、t = π / 2 {\displaystyle \pi /2} では点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} をとるので、tはx軸の正の部分を基準線とする反時計方向の角度になっている。 一方、媒介変数表示は x = a sin t , y = b cos t {\displaystyle x=a\,\sin t,\,y=b\,\cos t} とする事もでき、この場合、t = 0 では、点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} をとり、t = π / 2 {\displaystyle \pi /2} では点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} をとるので、tはy軸の正の部分を基準線とする時計方向の角度になっている。 第二種不完全楕円積分を E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 ϕ d ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}~d\phi \end{aligned}}} 0 ≤ φ ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2} と表記する。さらに、楕円上の点を指定する指標として、 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ベクトルのx軸に対する角度 θ {\displaystyle \theta } も導入する。 ( tan θ = y / x , − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 {\displaystyle \tan \theta =y/x,-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2} ) A) 0 < b ≤ a {\displaystyle 0<b\leq a} の時 e = 1 − ( b / a ) 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}} 楕円(の右半分)を x = a sin u , y = b cos u , 0 ≤ u ≤ π {\displaystyle x=a\,\sin u,\,y=b\,\cos u,\,0\leq u\leq \pi } で表す。 a E ( u , e ) {\displaystyle a\,E(u,e)} は点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} から u {\displaystyle u} が与える点までの弧長となっている。 この時 y / x = tan θ = ( b / a ) / tan u {\displaystyle y/x=\tan \theta =(b/a)/\tan u} tan u = ( b / a ) / tan θ {\displaystyle \tan u=(b/a)/\tan \theta } L = ∫ u 1 u 2 ( d x d u ) 2 + ( d y d u ) 2 d u = ∫ u 1 u 2 a 2 cos 2 u + b 2 sin 2 u d u = a ∫ u 1 u 2 1 − e 2 sin 2 u d u {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {\left({dx \over du}\right)^{2}+\left({dy \over du}\right)^{2}}}\,du\\&=\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}u+b^{2}\sin ^{2}u}}\,du\\&=a\,\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}u}}\,du\end{aligned}}} となる。 E ( u , e ) {\displaystyle E(u,e)} が点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} を最大の終点とする積分になる事を考慮し、場合分けをし積分範囲を決めると、次のようになる。 i) 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \pi /2} L = a ( E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( θ 2 ) , u 2 = t h 2 u ( θ 1 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(\theta _{2}),\,u_{2}=th2u(\theta _{1})} ii) − π / 2 ≤ θ 1 < 0 ≤ θ 2 ≤ π / 2 {\displaystyle -\pi /2\leq \theta _{1}<0\leq \theta _{2}\leq \pi /2} L = a ( 2 E ( π / 2 , e ) − E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(2E(\pi /2,e)-E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( θ 2 ) , u 2 = t h 2 u ( − θ 1 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(\theta _{2}),\,u_{2}=th2u(-\theta _{1})} iii) − π / 2 ≤ θ 1 ≤ θ 2 < 0 {\displaystyle -\pi /2\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}<0} L = a ( E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( − θ 1 ) , u 2 = t h 2 u ( − θ 2 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(-\theta _{1}),\,u_{2}=th2u(-\theta _{2})} ここで t h 2 u ( θ ) = tan − 1 ( ( b / a ) / tan θ ) {\displaystyle th2u(\theta )=\tan ^{-1}((b/a)/\tan \theta )} （ただし、 t h 2 u ( 0 ) = π / 2 , t h 2 u ( ± π / 2 ) = 0 {\displaystyle th2u(0)=\pi /2,\,th2u(\pm \pi /2)=0} とする） である。 B) 0 < a ≤ b {\displaystyle 0 ※この「楕円弧長と第二種不完全楕円積分の関係の詳細」の解説は、「楕円」の解説の一部です。
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