直交曲線座標
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:26 UTC 版)
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数学において、直交曲線座標（ちょっこうきょくせんざひょう）、直交座標（ちょっこうざひょう、英: orthogonal coordinates）とは、座標超曲面同士が互いに直交するようなd個の座標q = (q1, q2, ..., qd)の組として定義される（注：上付き添え字は指数ではなく添え字 (Einstein notation) を意味する）。ある座標qkに対する座標超曲面とは、qkが定数となる超曲面（場合によっては曲線、曲面）のことである。たとえば、3次元のデカルト座標系 (x, y, z) では「x = 定数」、「y = 定数」、「z = 定数」は座標超曲面であるが、これらが互いに直角に交るので、直交座標系である。直交曲線座標は曲線座標の特殊な例である。
動機
ベクトル同士の演算や物理法則の導出は、通常、デカルト座標系 (英: Cartesian coordinates) で行うのが最も簡単であるが、量子力学における場の理論、流体力学、等角性を保持する地図投影（正角図法）、電気力学、プラズマ物理学、化学種や熱の拡散等において生じるような境界値問題においては、デカルト座標ではない直交座標（非デカルト直交座標、即ち直交座標）がよく用いられる。
非デカルト直交座標の利点は、問題の対称性に合わせて座標を選ぶことができる点である。例えば、地面（あるいは他の障害物）から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、デカルト座標では3次元空間に依存するが、球座標では問題はほぼ1次元となる（圧力波は時間と中心からの距離のみに依存するため）。デカルト座標では偏微分方程式を含む2次元の境界値問題を解かなければならないが、円筒座標では偏微分方程式を用いずとも、常微分方程式で表現可能1次元の問題に帰着される。
一般的な曲線座標 (英: curvilinear coordinates) ではなく、直交曲線座標を好まれる理由は、これを用いたほうが単純であるからである。直交しない座標では多くの複雑な問題が発生する。例えば、直交曲線座標では、多くの問題が変数分離によって解決されることがある。変数分離とは、複雑なd次元の問題を、「既知の関数で解くことができるd個の1次元の問題」に変換する数学的手法である。多くの方程式は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式に還元することができる。ラプラス方程式は、下表13番に示す座標系（トロイダル座標を除く下表14番に示す座標）で変数分離可能であり、ヘルムホルツ方程式は、下表11番の座標系で変数分離可能である[1][2]。
直交曲線座標は、計量テンソルの非対角項を決して持たない。つまり、無限小の2乗距離、即ち ds2 は、常に、「無限小の座標変位の2乗の総和」として書くことができる。
即ち、:
ここで 'r は何らかの点を表し、q i は基底ベクトルを抽出した座標である。つまり、1つの座標以外を固定して曲線を得、固定しない座標をパラメトリック曲線のように変化させ、パラメータ（変化する座標）に対する曲線の微分を、その座標の基底ベクトルとする。
なお、ベクトルは必ずしも等しい長さとは限らない。座標のスケールファクターとして知られる便利な関数は、単に基底ベクトル 
楕円座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 14:23 UTC 版)
「ベルトラン・ダルブーの定理」の記事における「楕円座標」の解説
x {\displaystyle x} 軸上の2点 ( ± c , 0 ) {\displaystyle (\pm c,0)} と任意の点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} との距離は r 1 = ( x − c ) 2 + y 2 {\displaystyle r_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}} および r 2 = ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle r_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} により与えられる。このとき、ポテンシャル V = 1 r 1 r 2 [ U 1 ( r 2 + r 1 2 ) + U 2 ( r 2 − r 1 2 ) ] {\displaystyle V={\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\left[U_{1}\left({\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}\right)\right]} により記述される系は楕円座標 ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} により変数分離される。その定義は μ = r 2 + r 1 2 , ν = r 2 − r 1 2 {\displaystyle \mu ={\frac {r_{2}+r_{1}}{2}},\ \ \nu ={\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}} であり、ハミルトニアンは H = 1 2 ( μ 2 − c 2 ) p μ 2 + ( c 2 − ν 2 ) p ν 2 μ 2 − ν 2 + U 1 ( μ ) + U 2 ( ν ) μ 2 − ν 2 , {\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {U_{1}(\mu )+U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}},} 独立な積分は Φ = 1 2 ν 2 ( μ 2 − c 2 ) p μ 2 + μ 2 ( c 2 − ν 2 ) p ν 2 μ 2 − ν 2 + ν 2 U 1 ( μ ) + μ 2 U 2 ( ν ) μ 2 − ν 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\nu ^{2}(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+\mu ^{2}(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {\nu ^{2}U_{1}(\mu )+\mu ^{2}U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}} である。楕円座標を用いて積分される系としては重力2中心問題が知られている。
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