マシュー方程式とは? わかりやすく解説

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マシュー函数

(マシュー方程式 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/04/06 04:30 UTC 版)

数学の分野におけるマシュー函数(マシューかんすう、: Mathieu functionマチウ函数とも書かれる)とは、ある特定の特殊函数のことで、以下に挙げるような様々な応用数学の問題を扱う上で有用となるものである。

これらは、Émile Léonard Mathieu (1868) の第一問題として提唱されたものであった。

マシュー方程式

マシューの微分方程式(Mathieu's differential equation)の標準形は次のようなものである。

マシュー正弦とマシュー余弦

固定された a および q に対し、マシュー余弦(Mathieu cosine)

Red: C(0.3,0.1,x).
Red: C'(0.3,0.1,x).

周期解

ここで、例えば


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マシュー方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/30 02:02 UTC 版)

マシュー函数」の記事における「マシュー方程式」の解説

マシュー微分方程式(Mathieu's differential equation)の標準形次のようなものであるd 2 y d x 2 + [ a − 2 q cos ⁡ ( 2 x ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0.} このマシュー方程式は、ただ一つ調和モードを持つヒル方程式である。 この方程式と密接に関連するのは、次のようなマシュー修正微分方程式(Mathieu's modified differential equation)である。 d 2 y d u 2 − [ a − 2 q cosh ⁡ ( 2 u ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{du^{2}}}-[a-2q\cosh(2u)]y=0.} これは u = i x {\displaystyle u=ix} を代入することで従う。 これら二つ方程式は、二次元ヘルムホルツ方程式楕円座標系(英語版)で表現し、二変数分離することで得られる 。この事実から、これらの方程式それぞれアンギュラ(angular)およびラディアル(radial)マシュー方程式としても知られている。 t = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle t=\cos(x)} を代入することで、マシュー方程式は次の代数形式変換される。 ( 1 − t 2 ) d 2 y d t 2 − t d y d t + ( a + 2 q ( 1 − 2 t 2 ) ) y = 0. {\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.} この方程式は t = − 1 , 1 {\displaystyle t=-1,1} において二つ確定特異点持ち無限大において一つ不確定特異点を持つ。このことは、一般に(他の多く特殊函数とは異なり)マシュー方程式の解は超幾何函数用いて表現できないこと意味するマシュー微分方程式は、列車が走る時の鉄道レール安定性や、人口動態季節性四次元波動方程式リミットサイクル安定性に関するフロケ理論など、多く文脈において数理モデルとして扱われる

※この「マシュー方程式」の解説は、「マシュー函数」の解説の一部です。
「マシュー方程式」を含む「マシュー函数」の記事については、「マシュー函数」の概要を参照ください。

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