支点の振動する振り子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/14 01:15 UTC 版)
質量の無い、振動する台に繋がれた振り子の運動方程式は台車に繋がれた振り子と同じように導出することができる。質点の位置はこの場合は次のように表わされる。 ( − ℓ sin θ , y + ℓ cos θ ) {\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)} そして、位置の一階微分をとることにより速度が得られる。 v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}} この系のラグランジアンは次のように書ける。 L = 1 2 m ( y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin θ + ℓ 2 θ ˙ 2 ) − m g ( y + ℓ cos θ ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)} そして、オイラー・ラグランジュ方程式 d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0} から次の運動方程式が得られる。 ℓ θ ¨ − y ¨ sin θ = g sin θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta } ここで、y が単振動 y = A sin ωt で表わされる場合、次の微分方程式を得る。 θ ¨ − g ℓ sin θ = − A ℓ ω 2 sin ω t sin θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta } この方程式は閉形式の基本解を持たないが、様々な方法で調べることができる。たとえば、振幅が小さい場合はマシュー方程式により精度よく近似することができる。解析により、振動が速ければ振り子が直立を保つことがわかる。下図のプロットの一つ目は y の振動が遅い場合には振り子を直立状態からずらすとすぐに倒れてしまうことを示している。短時間で θ は 90°を超えており、つまり振り子は倒れてしまっている。y の振動が速ければ振り子は直立位置の周りで安定に保たれる。二つ目のプロットは振り子が直立位置 (θ = 0) からずれてもその近傍で振動することを示している。直立位置からのずれは小さくたもたれ、倒れてしまうことはない。
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