支点固定型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/14 01:15 UTC 版)
振り子の支点が空間的に固定されている場合、運動方程式は非倒立振子（英語版）のものと同一となる。次に示す方程式は運動に抗する摩擦力がなく、棒は質量のない剛体と見做すことができ、平面内に運動が制限されているという仮定をおいた場合の運動方程式である。 θ ¨ − g ℓ sin θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0} ここで、··θ は角加速度を、g は重力加速度を、ℓ は振り子の長さを、θ は平衡位置からの変位角を表わす。 片々足し合わせることにより角加速度項と重力項が同符号となるように変形することもできる。 θ ¨ = g ℓ sin θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta } したがって、倒立振子は不安定平衡点からみた初期位置の方向に向かって、長さに反比例した加速度で遠ざかることがわかる。したがって、振り子は長い方が短い振り子よりも遅く落ちる。 トルクと慣性モーメントを用いた導出 質量 m の質点を、長さ ℓ の質量のない剛体棒の支点と逆側に固定した構成の振り子を考える。 系の総トルクは慣性モーメントと角加速度をかけた値に等しくなる。 τ n e t = I θ ¨ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}} 重力による総トルクは以下のように書ける。 τ n e t = m g ℓ sin θ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!} ここで、θ は倒立平衡点から測った変位角である。 したがって、次の運動方程式を得る。 I θ ¨ = m g ℓ sin θ {\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!} 質点の慣性モーメントは次のように得られる。 I = m R 2 {\displaystyle I=mR^{2}} 倒立振子の場合、動径は棒の長さ ℓ に等しい。 I = mℓ2 を代入すると以下が得られる。 m ℓ 2 θ ¨ = m g ℓ sin θ {\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!} mℓ2 で辺々割って次を得る。 θ ¨ = g ℓ sin θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }
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