周期関数
周期解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 02:26 UTC 版)
三体問題の解のうち周期解（ある時間 T {\displaystyle T} が経過するともとの配位に戻る解）には特に興味が持たれてきた。ジョージ・ヒルは円制限三体問題において（ある近似のもとで）周期解を発見した。アンリ・ポアンカレはヒルの研究に触発されて（回転を除いて）周期的な解が平面制限三体問題に無限に存在することを証明し、これらの解について次のように記述している。 D'ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable. (これらの周期解が貴重なものであるのは、それがこれまで手が届かないと思われていた場所に至る唯一の突破口になり得るからである) — Henri Poincaré、Les méthodes nouvelles de mécanique céleste, Tome 1, p. 82 計算機時代に入ると様々な周期解を数値的に求めることが可能になった。1963年に Richard Arenstorf は現在Arenstorf orbitとして知られる制限三体問題の周期解を数値的に計算した。1967年に Szebehely らはピタゴラス三体問題の研究を通じてひとつの周期解を数値的に構成した。1970年代にはMichel Hénonらによってひとつのパラメータで特徴づけられる周期解の族が発見された（このクラスの解は Broucke-Hadjidemetriou-Hénon family として知られる）。1990年代には三体が単一の閉曲線上を運動する解（例えば8の字を描く「8の字解」）の存在が証明され、注目を集めた。この解のクラスは Carles Simó によって舞踏解（英語版） (choreography) と命名され、同様の手法によってn体問題の周期解が多数得られた。 詳細は「:en:n-body choreography」を参照
※この「周期解」の解説は、「三体問題」の解説の一部です。
「周期解」を含む「三体問題」の記事については、「三体問題」の概要を参照ください。
周期解（クノイダル波）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/11 01:26 UTC 版)
「KdV方程式」の記事における「周期解（クノイダル波）」の解説
KdV方程式はヤコビの楕円関数 cn（クノイダル関数）で表される周期解 u ( x , t ) = u 0 + 2 κ 2 k 2 cn 2 κ ( x − c t + δ ) {\displaystyle u(x,t)=u_{0}+2\kappa ^{2}k^{2}\operatorname {cn} ^{2}\kappa (x-ct+\delta )} をもつ。ただし、 c = 6 u 0 − ( 1 − 2 k 2 ) κ 2 {\displaystyle c=6u_{0}-(1-2k^{2})\kappa ^{2}} である。
※この「周期解（クノイダル波）」の解説は、「KdV方程式」の解説の一部です。
「周期解（クノイダル波）」を含む「KdV方程式」の記事については、「KdV方程式」の概要を参照ください。
周期解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 02:02 UTC 版)
q {\displaystyle q} が与えられたとき、特性値（characteristic value）と呼ばれる a {\displaystyle a} の可算個の多くの特別な値に対して、マシュー方程式は周期が 2 π {\displaystyle 2\pi } であるような周期解を許す。マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の各々の特性値は、自然数 n に対して a n ( q ) , b n ( q ) {\displaystyle a_{n}(q),\,b_{n}(q)} と記述される。そのようなマシュー余弦函数およびマシュー正弦函数が周期的である特殊例はしばしば C E ( n , q , x ) , S E ( n , q , x ) {\displaystyle CE(n,q,x),\,SE(n,q,x)} と書かれる。しかし、それらは伝統的には異なる正規化（それらの L2 ノルムが π {\displaystyle \pi } に等しいような正規化）によって与えられている。したがって、q が正の値であるとき、 C ( a n ( q ) , q , x ) = C E ( n , q , x ) C E ( n , q , 0 ) {\displaystyle C\left(a_{n}(q),q,x\right)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}}} S ( b n ( q ) , q , x ) = S E ( n , q , x ) S E ′ ( n , q , 0 ) {\displaystyle S\left(b_{n}(q),q,x\right)={\frac {SE(n,q,x)}{SE^{\prime }(n,q,0)}}} が成立する。ここで、q = 1 のときの周期的なマシュー余弦函数のうち初めのいくつかを図示する。 ここで、例えば C E ( 1 , 1 , x ) {\displaystyle CE(1,1,x)} （図中の緑の曲線）は余弦函数に似たものであるが、丘の部分はより平坦に、谷の部分はより浅くなっている。
※この「周期解」の解説は、「マシュー函数」の解説の一部です。
「周期解」を含む「マシュー函数」の記事については、「マシュー函数」の概要を参照ください。
- 周期解のページへのリンク
