周期関数
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/01 20:37 UTC 版)
数学における周期関数（しゅうきかんすう、英: periodic function）は、一定の間隔あるいは周期ごとに取る値が繰り返す関数を言う。最も重要な例として、2π ラジアンの間隔で値の繰り返す三角関数を挙げることができる。周期関数は振動や波動などの周期性を示す現象を記述するものとして自然科学の各分野において利用される。周期的でない任意の関数は非周期的（ひしゅうきてき、英: aperiodic）であるという。
定義
関数 f が周期的 (periodic) あるいは（0 でない定数 P に対して）周期 P を持つとは、x の任意の値に対して
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正弦関数のグラフを二周期分示した図 例えば正弦関数は任意の x に対して
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f(x) = sin(x) および g(x) = cos(x) のグラフ。2 つの関数はともに周期 2π を持つ。 三角関数の正弦および余弦関数は、ともに周期 2π を持つ、共通周期関数である。フーリエ級数の主題は、「勝手な」周期関数を周期を調整した三角関数の和として表すという考えについて研究するものである。
上記の定義に従えば、例えばディリクレ関数のような、ある種の際立った (exotic) 関数までもが周期的であることになる（ディリクレ関数の周期は任意の非零有理数）。
性質
周期関数 f が周期 P を持つならば f の定義域の各元 x と任意の整数 n に対して
- f(x + nP) = f(x)
が成立する。同じく f が周期 P を持つならば、定数 a, b に対して函数 f(ax + b) は周期 P⁄|a| を持つ周期函数になる。例えば f(x) = sin x は周期 2π ゆえ sin(5x) は周期 2π/5 を持つ。
二重周期関数
→詳細は「二重周期関数」を参照複素平面上で定義される関数は、定数関数でなくとも互いに不均衡な 2 つの周期を持ち得る（この文脈での「不均衡」は、一方が他方の実数倍でないことを言う）。そのような関数の例として、楕円関数が挙げられる。
複素変数の周期関数
複素数を変数に持つ周期関数として、以下の複素指数関数がよく知られている（この関数はときに cis 関数とも呼ばれる）。
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周期解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 02:26 UTC 版)
三体問題の解のうち周期解（ある時間 T {\displaystyle T} が経過するともとの配位に戻る解）には特に興味が持たれてきた。ジョージ・ヒルは円制限三体問題において（ある近似のもとで）周期解を発見した。アンリ・ポアンカレはヒルの研究に触発されて（回転を除いて）周期的な解が平面制限三体問題に無限に存在することを証明し、これらの解について次のように記述している。 D'ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable. (これらの周期解が貴重なものであるのは、それがこれまで手が届かないと思われていた場所に至る唯一の突破口になり得るからである) — Henri Poincaré、Les méthodes nouvelles de mécanique céleste, Tome 1, p. 82 計算機時代に入ると様々な周期解を数値的に求めることが可能になった。1963年に Richard Arenstorf は現在Arenstorf orbitとして知られる制限三体問題の周期解を数値的に計算した。1967年に Szebehely らはピタゴラス三体問題の研究を通じてひとつの周期解を数値的に構成した。1970年代にはMichel Hénonらによってひとつのパラメータで特徴づけられる周期解の族が発見された（このクラスの解は Broucke-Hadjidemetriou-Hénon family として知られる）。1990年代には三体が単一の閉曲線上を運動する解（例えば8の字を描く「8の字解」）の存在が証明され、注目を集めた。この解のクラスは Carles Simó によって舞踏解（英語版） (choreography) と命名され、同様の手法によってn体問題の周期解が多数得られた。 詳細は「:en:n-body choreography」を参照
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