制限三体問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 02:26 UTC 版)
第三体の質量が第一体および第二体の質量に比べて十分小さいとき（ m 3 ≪ m 1 , m 2 {\displaystyle m_{3}\ll m_{1},m_{2}} ）、第一体および第二体の運動方程式において第三体による重力の寄与を無視することができる。この近似のもとでの三体問題を特に制限三体問題 (restricted three-body problem) と呼ぶ。制限三体問題においては、第一体および第二体の運動はケプラー運動であり、求積可能である。従って、この場合、二体がつくる重力場中を運動する第三体の軌道を求めることが主たる問題となる。 d 2 r d t 2 = − ∑ j = 1 , 2 G m j r − r j ( t ) | r − r j ( t ) | {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-\sum _{j=1,2}Gm_{j}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}(t)|}}} 多くの場合に、制限三体問題のうち二体が楕円軌道を描く状況が興味の対象となる。特にその軌道が円軌道 (離心率 e = 0 {\displaystyle e=0} ) である場合を円制限三体問題 (circular restricted three-body problem) と呼ぶ。この場合、共動回転系では第一体および第二体が静止し数学的な取り扱いが容易になるため、しばしば採用される。この座標系では円制限三体問題の運動方程式は遠心力とコリオリ力を含む次の形を取る。 x ¨ = n 2 x + 2 n y ˙ − G m 1 x + a 1 | r + a 1 x ^ | 3 − G m 2 x − a 2 | r − a 2 x ^ | 2 {\displaystyle {\ddot {x}}=n^{2}x+2n{\dot {y}}-Gm_{1}{\frac {x+a_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {x-a_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}} y ¨ = n 2 y − 2 n x ˙ − G m 1 y | r + a 1 x ^ | 3 − G m 2 y | r − a 2 x ^ | 2 {\displaystyle {\ddot {y}}=n^{2}y-2n{\dot {x}}-Gm_{1}{\frac {y}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {y}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}} z ¨ = − G m 1 z | r + a 1 x ^ | 3 − G m 2 z | r − a 2 x ^ | 2 {\displaystyle {\ddot {z}}=-Gm_{1}{\frac {z}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {z}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}} ここで a {\displaystyle a} を二体運動の軌道長半径として a 1 = m 2 m 1 + m 2 a {\displaystyle a_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}a} , a 2 = m 1 m 1 + m 2 a {\displaystyle a_{2}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}a} であり、第一体は座標 ( − a 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle (-a_{1},0,0)} に、第二体は座標 ( a 2 , 0 , 0 ) {\displaystyle (a_{2},0,0)} にあるものとした。また x ^ {\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}} は x {\displaystyle x} 軸単位ベクトルである。円制限三体問題にはヤコビ積分として知られる保存量 C J = 2 G m 1 | r + a 1 x ^ | + 2 G m 2 | r − a 2 x ^ | + n 2 ( x 2 + y 2 ) − ( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 ) {\displaystyle C_{\mathrm {J} }={\frac {2Gm_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|}}+{\frac {2Gm_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|}}+n^{2}(x^{2}+y^{2})-({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})} が存在する。 なお、第一体または第二体の近傍には、その天体の重力が支配的な領域が存在し、ヒル圏と呼ばれる。
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