周期関数のフーリエ級数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/20 09:49 UTC 版)
「アディティブ・シンセシス」の記事における「周期関数のフーリエ級数展開」の解説
任意の波形もしくは関数 y ( t ) {\displaystyle y(t)\,} が、周期 T {\displaystyle T\,} について全ての時刻 t {\displaystyle t\,} について y ( t ) = y ( t + T ) {\displaystyle y(t)=y(t+T)\ } を満たす場合、これを周期的波形もしくは周期関数と呼ぶ。 周期関数のフーリエ級数展開は、次のように表現される： y ( t ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ [ a k cos ( 2 π k f 0 ⋅ t ) + b k sin ( 2 π k f 0 ⋅ t ) ] = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ r k cos ( 2 π k f 0 ⋅ t + ϕ k ) {\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[a_{k}\cos(2\pi kf_{0}\cdot t)+b_{k}\sin(2\pi kf_{0}\cdot t)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}\cos \left(2\pi kf_{0}\cdot t+\phi _{k}\right)\end{aligned}}} ここで f 0 {\displaystyle f_{0}\ \,} ： 周期関数の基本周波数（周期の逆数 1 / T {\displaystyle \textstyle {1/T}\,} ） ※ 二番目の表式は 加法定理で得られる↓ a k {\displaystyle a_{k}\ \,} ： k {\displaystyle k\,} 次のフーリエ余弦係数 ( a k = r k cos ( ϕ k ) ) {\displaystyle \textstyle (a_{k}=r_{k}\cos(\phi _{k}))\,} a k ≡ 2 T ∫ 0 T y ( t ) ⋅ cos ( 2 π k f 0 ⋅ t ) d t , k ≥ 0 {\displaystyle a_{k}\equiv {\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}y(t)\cdot \cos(2\pi kf_{0}\cdot t)\,dt\ ,\quad k\geq 0\,} b k {\displaystyle b_{k}\ \,} ： k {\displaystyle k\,} 次のフーリエ正弦係数 ( b k = − r k sin ( ϕ k ) ) {\displaystyle \textstyle (b_{k}=-r_{k}\sin(\phi _{k}))\,} b k ≡ 2 T ∫ 0 T y ( t ) ⋅ sin ( 2 π k f 0 ⋅ t ) d t , k ≥ 1 {\displaystyle b_{k}\equiv {\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}y(t)\cdot \sin(2\pi kf_{0}\cdot t)\,dt\ ,\quad k\geq 1\,} r k {\displaystyle r_{k}\ \,} ： k {\displaystyle k\,} 次ハーモニック・パーシャルの振幅 ( r k = a k 2 + b k 2 ) {\displaystyle \textstyle \left(r_{k}={\sqrt {a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}}\right)\,} ϕ k {\displaystyle \phi _{k}\ \,} ： k {\displaystyle k\,} 次ハーモニック・パーシャルのオフセット位相 ( ϕ k = − atan2 ( b k , a k ) ) {\displaystyle \textstyle (\phi _{k}=-\operatorname {atan2} (b_{k},a_{k}))\,} ※※ atan2 は逆正接 tan-1 の二引数版。 である。以降、アディティブ・シンセシスの表式では、人間の可聴域外成分である直流成分 a 0 / 2 {\displaystyle a_{0}/2\,} （初項）と、適当な上限周波数 K f 0 {\displaystyle Kf_{0}\,} を超える K {\displaystyle K\,} 次以上の級数成分 は省略する。
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