アーノルド予想とフレアーホモロジーとは? わかりやすく解説

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アーノルド予想とフレアーホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 21:21 UTC 版)

シンプレクティック幾何学」の記事における「アーノルド予想とフレアーホモロジー」の解説

( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とする。 H {\displaystyle H} 上の滑らかな関数の族 H = { H t } {\displaystyle H=\{H_{t}\}} で H t + 1 = H t {\displaystyle H_{t+1}=H_{t}} をとる。このとき、 H {\displaystyle H} に随伴するハミルトン力学系 x ˙ = X H t {\displaystyle {\dot {x}}=X_{H_{t}}} が考えられる1960年代アーノルドはこのハミルトン力学系の1周期解個数評価に関して次の予想提出したConjecture (Arnold) : 次の不等式成立する: # { x : R / Z → M | x ˙ = X H t } ≥ min { # C r ( F ) | F ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle \#\{x:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M\,|\,{\dot {x}}=X_{H_{t}}\}\geq \min\{\#Cr(F)\,|\,F\in C^{\infty }(M)\}} ここで、 C r ( F ) {\displaystyle Cr(F)} は F {\displaystyle F} の臨界点集合を表す。もし、全ての周期解非退化であるのならば、 # { x : R / Z → M | x ˙ = X H } ≥ ∑ k b k ( M ) {\displaystyle \,\#\{x:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M\,|\,{\dot {x}}=X_{H}\}\geq \sum _{k}b_{k}(M)\,} である。ここで、 b k ( M ) {\displaystyle b_{k}(M)} は k {\displaystyle k} 次のベッチ数である。 この予想ハミルトン系周期解に関する予想であるが、シンプレクティック多様体上の不動点定理としても捉えることができる。すなわち、 { ϕ t } t ∈ R {\displaystyle \{\phi _{t}\}_{t\in \mathbb {R} }} をハミルトンベクトル場 X H t {\displaystyle X_{H_{t}}} のフローとし、 γ : R / Z → M {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M} をハミルトン系周期解としよう。簡単のため、 γ {\displaystyle \gamma } の周期は1であるとする。すると、 γ ( 0 ) ∈ M {\displaystyle \gamma (0)\in M} は ϕ 1 ( γ ( 0 ) ) = γ ( 0 ) {\displaystyle \phi _{1}(\gamma (0))=\gamma (0)} を満たす。つまり、 γ ( 0 ) {\displaystyle \gamma (0)} はハミルトン微分同相写像不動点である。この観点からみれば、アーノルド予想とは Conjecture(Arnold) ϕ {\displaystyle \,\phi \,} を(M, ω)上のハミルトン微分同相写像とする。このとき、 # { p ∈ M | ϕ ( p ) = p } ≥ min { # C r ( F ) | F ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle \,\#\{p\in M\,|\,\phi (p)=p\}\geq \min\{\#Cr(F)\,|\,F\in C^{\infty }(M)\}\,} が成り立つ。 また、ハミルトン微分同相写像固定点個数に関するベッチ数評価cup length評価版もある。この予想提出され以降いくつかの部分解が証明されたが、本質的に進展したのはフレアーによってである。フレアーは、シンプレクティック多様体単調 (monotone) であるときにアーノルド予想解決した。ここで、シンプレクティック多様体 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} が単調であるとは、正数 τ > 0 {\displaystyle \tau >0} が存在してc 1 ( M ) | π 2 ( M ) = τ [ ω ] | π 2 ( M ) {\displaystyle \,c_{1}(M)|_{\pi _{2}(M)}=\tau [\omega ]|_{\pi _{2}(M)}\,} が成り立つことをいう。ここで、 c 1 ( M ) {\displaystyle \,c_{1}(M)\,} は第一チャーン類、 [ ω ] {\displaystyle [\omega ]} はシンプレクティック形式定め2次コホモロジー類である。フレアーは現在フレアーホモロジー呼ばれるホモロジー構成したその後、ホーファー-サラモンや小野により、シンプレクティック多様体が半正(弱単調ともいう)という条件下で、アーノルド予想ベッチ数評価版証明された。さらに、Liu-Tian及び深谷小野により、一般コンパクトなシンプレクティック多様体において、アーノルド予想ベッチ数評価版証明された。 さらにはフレアーホモロジー概念ハミルトン系周期解対するものだけでなく、低次元多様体上のSU(2)ゲージ理論シンプレクティック多様体ラグランジュ部分多様体交叉理論にも応用される。しかし、これらに共通しているのは、無限次元多様体上でモース理論適用である。 以下、ハミルトン系周期軌道対すフレアー理論解説するシンプレクティック多様体 M {\displaystyle M} の上閉曲線全体 L M {\displaystyle {\mathcal {L}}M} を M {\displaystyle M} 上の自由ループ空間という。さらにその内で、1点連続変形可能(可縮という)なものの全体を、 X = L 0 M {\displaystyle X={\mathcal {L}}_{0}M} と書くことにする。また、 S 1 {\displaystyle S^{1}} と書いたときは、 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } とパラメトライズされていると仮定する。このとき、時間依存するハミルトン関数 H ∈ C ∞ ( S 1 × M ) {\displaystyle H\in C^{\infty }(S^{1}\times M)} に対して、 X {\displaystyle X} 上の汎関数次のように定まるA H ( γ ) = ∫ D 2 u ∗ ω − ∫ γ H d t , γ ∈ X . {\displaystyle \,{\mathcal {A}}_{H}(\gamma )=\int _{D^{2}}u^{*}\omega -\int _{\gamma }Hdt,\,\,\,\,\gamma \in X.\,} ここで、 u : D 2 → M {\displaystyle u:D^{2}\to M} は2次元円盤 D 2 {\displaystyle D^{2}} から M {\displaystyle M} への写像で、 γ {\displaystyle \gamma } を境界として持つものである。ただし、 u {\displaystyle u} は唯1つには定まらずA H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} は X {\displaystyle X} 上の多価な汎関数となる。もし π 2 ( M ) = 0 {\displaystyle \pi _{2}(M)=0} と仮定すると、汎関数の値は u {\displaystyle u} の取り方に依らず、 γ {\displaystyle \gamma } のみに依存する。そこで、以下では π 2 ( M ) = 0 {\displaystyle \pi _{2}(M)=0} であるとして議論進める。 汎関数 A H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} に対す変分原理は、 γ ∈ X {\displaystyle \gamma \in X} がハミルトン方程式周期1の周期解であるのは、 γ {\displaystyle \gamma } が汎関数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の臨界点であるときであり、かそのときに限る、ことを主張する。この観察から、アーノルド予想は # C r ( A H ) ≥ ∑ k = 0 dimM b k ( M ) {\displaystyle \#\mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})\geq \sum _{k=0}^{\dim M}b_{k}(M)} …………(*) と読みかえられる。この不等式は、有限次元多様体上のモース不等式アナロジーである: N {\displaystyle N} を有限次元閉多様体とし、 f : N → R {\displaystyle f:N\to \mathbb {R} } をその上モース関数とすると、モース不等式 # C r ( f ) ≥ ∑ k = 0 dimN b k ( N ) . {\displaystyle \#\mathrm {Cr} (f)\geq \sum _{k=0}^{\dim N}b_{k}(N).} が成り立つ。 不等式(*)を示すために、フレアー次のような鎖複体考えたC F( H ) = ⨁ x ∈ C r ( A H ) Z 2 ⟨ x ⟩ . {\displaystyle \mathrm {CF} _{*}(H)=\bigoplus _{x\in \mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})}\mathbb {Z} _{2}\langle x\rangle .} 鎖複体次数付けはコンリー・ツェンダー指数 (Conley-Zehnder index) μ H : C r ( A H ) → Z {\displaystyle \mu _{H}:\mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})\to \mathbb {Z} } と呼ばれているもので与えられているとする。境界作用素は、 δ ⟨ x ⟩ = ∑ μ H ( x ) − μ H ( y ) = 1 # M ( x , y ) ⟨ y ⟩ mod 2 {\displaystyle \delta \langle x\rangle =\sum _{\mu _{H}(x)-\mu _{H}(y)=1}\#{\mathcal {M}}(x,y)\langle y\rangle \mod 2} で定義される。ここで、 M ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(x,y)} は臨界点 x {\displaystyle x} から y {\displaystyle y} へと向かう(負の)勾配曲線のモジュライ空間を表す。 このモジュライ空間についてもう少し詳しく述べよう。 M {\displaystyle M} 上の概複素構造 J {\displaystyle J} で、シンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } と両立するものが存在する。つまり、 ( M , J , ω ) {\displaystyle (M,J,\omega )} は概ケーラー多様体となる。このとき、リーマン計量 g J = ω ( ∙ , J ∙ ) {\displaystyle g_{J}=\omega (\bullet ,J\bullet )} から可縮ループからなる多様体」 X {\displaystyle X} 上の L 2 {\displaystyle L^{2}} -計量定めることが出来るから、汎関数 A H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} の(形式的な勾配ベクトル場が X {\displaystyle X} 上定義される。いま X {\displaystyle X} 上の曲線 u : R → X {\displaystyle u:\mathbb {R} \to X} を考えると、それはシリンダー R × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}} から M {\displaystyle M} への写像同一視できる。この同一視使ってA H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} の勾配方程式書き下すと、フレアー方程式摂動されたコーシー・リーマン方程式ともいう) ∂ u ∂ s + J ( u ) ( ∂ u ∂ t − X H t ( u ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}+J(u)\left({\frac {\partial u}{\partial t}}-X_{H_{t}}(u)\right)=0} …………(**) となる。ここで、 s , t {\displaystyle s,t} はそれぞれ R × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}} の第一第二成分座標である。(**)の解 u {\displaystyle u} で、 s → − ∞ {\displaystyle s\to -\infty } の極限で u ( s , ∙ ) : S 1 → M {\displaystyle u(s,\bullet ):S^{1}\to M} がハミルトン方程式の1周期解xに、 s → ∞ {\displaystyle s\to \infty } の極限周期解 y {\displaystyle y} に収束するもののモジュライ空間を M ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(x,y)} と書く。 μ H ( x ) − μ H ( y ) = 1 {\displaystyle \mu _{H}(x)-\mu _{H}(y)=1} ならば、このモジュライ空間有限集合であることが証明できる。したがって上で定義した境界作用素 δ {\displaystyle \delta } はwell-definedである。さらに次の定理成立すれば、鎖複体 ( C F( H ) , δ ) {\displaystyle (CF_{\ast }(H),\delta )} がようやく構成できたことになる(正確には、概複素構造 J {\displaystyle J} にも依存した鎖複体構成した)。 定理(フレアー): ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} が単調ならば、 δ ∘ δ = 0 {\displaystyle \delta \circ \delta =0} が成り立つ。 この定理の証明には上のモジュライ空間コンパクト性必要になるが、一般にフレアー方程式の解無限列極限バブル呼ばれる現象生じコンパクト性成り立たない。ただしシンプレクティック多様体単調性であるとバブル起きないので、モジュライ空間コンパクトであるといえる。(正確に上のモジュライ空間のうまいコンパクト化を取ることが出来る。)このとき、張り合わせなどの議論経て上の定理成立する。Hofer-Salamon, 小野はさらに半正でもバブル起きず上の定理成立することを示した。 定義: 鎖複体 ( C F ∗ ( H , J ) , δ ) {\displaystyle (\mathrm {CF} _{\ast }(H,J),\delta )} のホモロジーハミルトン系の(可縮な)周期軌道対すフレアーホモロジー呼びH F ∗ ( H , J ) {\displaystyle \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)} と表す。 シンプレクティック多様体単調である場合アーノルド予想は、フレアーによる次の定理から直接従う。 定理(フレアー): フレアーホモロジー H F ∗ ( H , J ) {\displaystyle \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)} はハミルトン関数 H {\displaystyle H} 、及び、概複素構造 J {\displaystyle J} に依らず、 M {\displaystyle M} のホモロジー同型である。

※この「アーノルド予想とフレアーホモロジー」の解説は、「シンプレクティック幾何学」の解説の一部です。
「アーノルド予想とフレアーホモロジー」を含む「シンプレクティック幾何学」の記事については、「シンプレクティック幾何学」の概要を参照ください。

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