ピタゴラス三体問題

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ピタゴラス三体問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/15 15:40 UTC 版)

ピタゴラス三体問題の数値解。

ピタゴラス三体問題 (ピタゴラスさんたいもんだい、Pythagorean problem of three bodies) またはブラーウの問題 (Burrau's problem) とは、三体問題のうち、質量比3:4:5の質点が3:4:5の直角三角形の各頂点に置かれた場合の系の進化を問う問題^[1]。名称は、古代ギリシアの数学者ピタゴラス、デンマークの数学者カール・ブラーウ（英語版）に因んで名付けられた。

1913年にブラーウによって詳しく調べられた後、1967年になってシェベヘリー（英語版）とピーターズ（英語版）によってコンピュータを用いて数値的に解が計算され、一体が系からエスケープし残りの二体が連星となるという結論が得られた。ピタゴラス三体問題は、近接散乱や天体のエスケープ、近接連星の形成といった重力多体系の興味深い性質を示す^[1]。

歴史

ピタゴラス三体問題の歴史は、1893年にカール・ブラーウ（英語版）との議論の中でエルンスト・マイセル（英語版）^[2]がこの初期条件のもとでの系の進化は周期的になると予想したことに遡る^[3][4]。当時は三体問題に秤動運動以外の非自明な周期解が存在するかどうかに興味が持たれていたが、制限三体問題のようにひとつの天体の質量が無視できる場合や階層的三体問題のような簡単化が可能な場合を除いて、解の挙動についての理解はごく限られていた^[5]。

そこでブラーウは三体の質量や距離がすべて同程度であるような状況の解の例を得るために、マイセルが周期解になると予想したピタゴラス三角形の初期条件についてその進化を1913年に計算し、2回目の近接散乱 (後述の単位系で ${\displaystyle t=3.35}$

ピタゴラス三体問題の初期条件。

ピタゴラス三体問題の初期条件は、質量比3:4:5の質点を3:4:5の直角三角形の各頂点に配置するものである。質量3の粒子 (第1体) は長さ3の辺の反対の頂点に、質量4の粒子 (第2体) は長さ4の辺の反対の頂点に、質量5の粒子 (第3体) は長さ5の辺の反対の頂点に置かれる。従って、重心を座標原点に選ぶとき、各粒子の初期座標は次のようになる^[11]。

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(1,3),\ \ \mathbf {x} _{2}=(-2,-1),\ \ \mathbf {x} _{3}=(1,-1)}$

ピタゴラス三体問題の数値解のアニメーション。

この系を三体問題の運動方程式に従って時間発展させると、時刻 ${\displaystyle t=1.879}$

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ピタゴラス三体問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:30 UTC 版)

「レヴィ＝チヴィタ変換」の記事における「ピタゴラス三体問題」の解説

三体問題の特別な初期条件のもとでの系の進化を問うピタゴラス三体問題は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た。