レヴィ＝チヴィタ変換

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レヴィ＝チヴィタ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:30 UTC 版)

レヴィ＝チヴィタ変換 (レヴィ＝チヴィタへんかん, Levi-Civita transformation) とは、平面ケプラー問題の運動方程式の特異性を除去し正則化する変換のこと。トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタがその理論を発展させた。三次元ケプラー問題の正則化はこれを拡張したクスターンヘイモ・シュティーフェル変換によって実現される。

ケプラー運動 (離心率 e =0, 0.5, 0.95) を物理空間およびLevi-Civita変換によるパラメータ空間でアニメーションにしたもの。物理空間では楕円を描くが、Levi-Civita変数では調和振動子と同じリサジュー図形となる。

Levi-Civita変換による座標の変換 $(q_{1},q_{2})\mapsto (Q_{1},Q_{2})$ について、その定義は

${\begin{cases}q_{1}&=Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}\\q_{2}&=2Q_{1}Q_{2}\end{cases}}$

であった。あるいは、行列表記ではこの変換は次のように書ける。

${\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}}$

この変換は、虚数単位 $i$ を導入すると、次の簡単な等式に書き直すことができる。

$q_{1}+iq_{2}=(Q_{1}+iQ_{2})^{2}$

このことは、もとの空間で座標原点 ( $r=0$) まわりに一周する ( $\theta =0$ から $\theta =2\pi$ まで変化する) とき、それはLevi-Civita変数の空間を半周すること ( $\psi =0\rightarrow \pi$) を意味する。従ってひとつの $(q_{1},q_{2})$-平面の点は $(Q_{1},Q_{2})$-平面のふたつの点（原点に関して対称な二点）に対応することになる。

fictitious time $s$

fictitious time $s$ は、離心近点角 $E$ と $E=2\omega s$ という関係にある。

応用

ピタゴラス三体問題

三体問題の特別な初期条件のもとでの系の進化を問うピタゴラス三体問題は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た。

参考文献

• Alessandra Celletti. Stability and Chaos in Celestial Mechanics. Springer. pp. 207-214. doi:10.1007/978-3-540-85146-2. ISBN 978-3-540-85145-5 
• Nastasi, Pietro; Tazzioli, Rossana (2005). “Toward a scientific and personal biography of Tullio Levi-Civita (1873–1941)”. Historia Mathematica 32 (2): 203-236. doi:10.1016/j.hm.2004.03.003. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086004000229. 
• Mikkola, S.. “A Brief History of Regularisation”. IAU Symposium 246: 218-227. Bibcode: 2008IAUS..246..218M. doi:10.1017/S1743921308015639. 

関連項目

• クスターンヘイモ・シュティーフェル変換
• 天体力学
• N体シミュレーション
• 三体問題
  • 制限三体問題、ピタゴラス三体問題