ステップ1: 正準変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:30 UTC 版)
「レヴィ＝チヴィタ変換」の記事における「ステップ1: 正準変換」の解説
この系に次の母関数 W ( p , Q ) {\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )} によって生成される正準変換 ( p , q ) ↦ ( P , Q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )} を施す。 W ( p , Q ) = p 1 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) + 2 p 2 Q 1 Q 2 {\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )=p_{1}(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})+2p_{2}Q_{1}Q_{2}} この正準変換は具体的に次のように表示できる。 ( q 1 q 2 ) = ( Q 1 − Q 2 Q 2 Q 1 ) ( Q 1 Q 2 ) , ( p 1 p 2 ) = 1 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) ( 2 Q 1 − 2 Q 2 2 Q 2 2 Q 1 ) ( P 1 P 2 ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}},\ \ {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})}}{\begin{pmatrix}2Q_{1}&-2Q_{2}\\2Q_{2}&2Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\end{pmatrix}},\ \ } 次節でこの変換の詳細な性質について見るが、ここでは q 1 2 + q 2 2 = Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}} が成立することを指摘しておく。さて、 D := 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) {\displaystyle D:=4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})} とおくとき、変換後のハミルトニアン H ~ ( P , Q ) = H ( p ( P , Q ) , q ( P , Q ) ) {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )=H(\mathbf {p} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ),\mathbf {q} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ))} は H ~ ( P , Q ) = 1 2 D ( P 1 2 + P 2 2 ) − μ Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2D}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})-{\frac {\mu }{Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}}}} であり、運動方程式は d Q j d t = P j D , d P j d t = 4 D 2 ( P 1 2 + P 2 2 − 8 μ ) Q j {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{dt}}={\frac {P_{j}}{D}},\ \ {\frac {dP_{j}}{dt}}={\frac {4}{D^{2}}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-8\mu )Q_{j}} となる。この段階ではまだ r → 0 {\displaystyle r\to 0} での特異性が残っている。
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