ステップ2: 時間変数の変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:30 UTC 版)
「レヴィ＝チヴィタ変換」の記事における「ステップ2: 時間変数の変換」の解説
Levi-Civita変換では物理的な時間 t {\displaystyle t} の代わりにfictitious time s {\displaystyle s} を独立変数として扱う。その定義は d t = D ( Q 1 , Q 2 ) d s {\displaystyle dt=D(Q_{1},Q_{2})ds} である。この変換を行うと、上の正準方程式は d Q j d s = P j , d P j d s = 8 H ~ ( P , Q ) Q j , d t d s = D {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{ds}}=P_{j},\ \ {\frac {dP_{j}}{ds}}=8{\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )Q_{j},\ \ {\frac {dt}{ds}}=D} という方程式系へと変換される。これは極限 r = Q 1 2 + Q 2 2 → 0 {\displaystyle r=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\to 0} での特異性を持たない。さらに H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} が保存量であることから、それが負の値を取る束縛軌道に関しては、これは角振動数 ω = − 8 H ~ {\displaystyle \omega ={\sqrt {-8{\tilde {H}}}}} の調和振動子の方程式に等しい。 なお、この運動方程式は形式的に ( P , Q ; T , t ) {\displaystyle (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ;T,t)} を正準変数とするハミルトニアン Γ = 1 2 ( P 1 2 + P 2 2 ) + 4 T ( Q 1 2 + Q 2 2 ) − 4 μ {\displaystyle \Gamma ={\frac {1}{2}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})+4T(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})-4\mu } に対応する正準方程式に ( T {\displaystyle T} はもとのハミルトニアン H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} の符号を反転させたものと解釈するとき) 一致する。
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