ピタゴラス平均とは？わかりやすく解説

（2つの数字aとbの）二乗平均平方根とピタゴラス平均を幾何的に構築したもの。調和平均は H、幾何平均は G、算術平均は A、二乗平均平方根は Qで表される。

一組の数字の算術平均、幾何平均、調和平均の比較。縦の破線は調和平均の漸近線である。

数学において、古典的なピタゴラス平均（ピタゴラスへいきん、英: Pythagorean means）とは、算術平均(AM)、幾何平均(GM)、調和平均(HM)の3つである。これらの平均は、幾何学や音楽における重要性から、ピタゴラス教団やそれ以降の世代のギリシャの数学者たち^[1]によって研究されていた。

定義

これらは次のように定義される。

{\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}

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ピタゴラス平均

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