平均間の不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:54 UTC 版)
これらの平均には順序があり（すべての x i {\displaystyle x_{i}} が正の場合） min ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ max {\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max } となり、 x i {\displaystyle x_{i}} がすべて等しい場合にのみ等しくなる。 これは算術・幾何平均の不等式（英語版）の一般化であり、一般化平均（英語版）の不等式の特殊な場合である。証明は、算術・幾何平均の不等式（英語版）、 AM ≤ max {\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max } 、また逆数との双対性（ min {\displaystyle \min } と min {\displaystyle \min } にも逆数との双対性がある）に従う。 ピタゴラス平均の研究は、Majorization（英語版）やSchur-convex function（英語版）の研究と密接な関係がある。調和平均と幾何平均は引数の凹対称函数であるため、Schur-concaveであり、算術平均は引数の一次関数であるため、凹と凸の両方である。
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