一般化平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 03:37 UTC 版)
詳細は「ヘルダー平均」を参照 算術平均、相乗平均、調和平均は同じ式 μ p = ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p {\displaystyle \mu _{p}={\Bigl (}{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}{\Bigr )}^{1/p}} あるいは n μ p p = ∑ i = 1 n x i p {\displaystyle n{\mu _{p}}^{p}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}} で表せる。この実数 p に対して定義した式の値を p一般化平均と呼ぶ。 p = 1 で算術平均、p = −1 で調和平均となり、p → 0 への極限が相乗平均である。また、p = 2 の場合を二乗平均平方根 (RMS) と呼び、物理学や工学で様々な応用をもつ。p → ∞ への極限は最大値、p → −∞ への極限は最小値である。 一般化平均は、ベクトル ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})} の pノルムを n 1 p {\displaystyle n^{\frac {1}{p}}} で割った結果に一致する。 データの p乗の平均、つまり、一般化平均の p乗 μ p p = 1 n ∑ i = 1 n x i p {\displaystyle {\mu _{p}}^{p}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}} を p乗平均と呼ぶ。 p乗平均・一般化平均の応用として、例えば統計学では分散と標準偏差がある。偏差（値から相加平均を引いた値）のそれぞれ 2乗平均・2一般化平均として定義されている。 一般化平均はさらに一般化が可能で、全単射な関数 f により μ f = f − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle \mu _{f}=f^{-1}{\Bigl (}{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}f(x_{i}){\Bigr )}} という平均が定義できる。恒等関数 f(x) = x により相加平均が、逆数 f(x) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/x により調和平均が、対数関数 f(x) = log x により相乗平均がそれぞれ表されている。 相加平均相乗平均調和平均 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} log x {\displaystyle \log x} x − 1 {\displaystyle x^{-1}} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} y {\displaystyle y} exp y {\displaystyle \exp y} y − 1 {\displaystyle y^{-1}} f − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle f^{-1}{\Bigl (}{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}f(x_{i}){\Bigr )}} 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}} exp ( 1 n ∑ i = 1 n log x i ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)} ( 1 n ∑ i = 1 n x i − 1 ) − 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{-1}\right)^{-1}}
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