相加平均≧相乗平均≧調和平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 03:37 UTC 版)
「平均」の記事における「相加平均≧相乗平均≧調和平均」の解説
n個の実数が全て正の時、次の大小関係が成り立つ。 相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和平均 x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} 等号成立条件は x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} である。 左側の不等式は、両辺に対数をとりlogの凸性（イェンセンの不等式）を適用すれば証明できる（数学的帰納法を使った別証明も知られている）。右側の不等式は、調和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を左側の不等式に適用すれば証明できる。 さらに拡張した p一般化平均 ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 p {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} （p は実数）について、一般には p の広義増加関数となる。p = 1 のとき相加平均、p = −1 のとき調和平均、p → 0 のとき極限として幾何平均になる（#一般化平均を参照）。
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