別証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/30 00:23 UTC 版)
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を X {\displaystyle X} の開被覆とする。どんな δ > 0 {\displaystyle \delta >0} に対しても V δ = { x ∈ X | ∃ U x ∈ U , ∀ x ′ ∈ X , d ( x , x ′ ) ≤ δ ⇒ x ′ ∈ U x } {\displaystyle V_{\delta }=\{x\in X|\exists U_{x}\in {\mathcal {U}},\forall x'\in X,d(x,x')\leq \delta \Rightarrow x'\in U_{x}\}} は開集合である。なぜなら、各 x ∈ V δ {\displaystyle x\in V_{\delta }} に対して、 X ∖ U x {\displaystyle X\setminus U_{x}} と x {\displaystyle x} の周りのコンパクト δ {\displaystyle \delta } -球の間には正の距離 ε {\displaystyle \varepsilon } があるから、開 ε {\displaystyle \varepsilon } -球もまた V δ {\displaystyle V_{\delta }} に含まれる。 族 { V δ | δ > 0 } {\displaystyle \{V_{\delta }|\delta >0\}} もまた X {\displaystyle X} の開被覆である。 X {\displaystyle X} はコンパクトだから、 X {\displaystyle X} は有限個の V δ {\displaystyle V_{\delta }} の和に既に含まれている。また δ < δ ′ {\displaystyle \delta <\delta '} に対して V δ ⊇ V δ ′ {\displaystyle V_{\delta }\supseteq V_{\delta '}} となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} に対して X = V δ {\displaystyle X=V_{\delta }} が成り立つ。この δ {\displaystyle \delta } はルベーグ数である。
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別証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/29 05:14 UTC 版)
左辺を g ( a , z ; q ) {\displaystyle \ g(a,z;q)} として関数方程式を導く。 ( 1 − z ) g ( a , z ; q ) = ( 1 − z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − z ) 1 − a z 1 − z ∏ n = 1 ∞ 1 − a z q n 1 − z q n = ( 1 − a z ) ∏ n = 0 ∞ 1 − a q z q n 1 − q z q n = ( 1 − a z ) g ( a , q z ; q ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)g(a,z;q)&=(1-z)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-z){\frac {1-az}{1-z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-azq^{n}}{1-zq^{n}}}\\&=(1-az)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aqzq^{n}}{1-qzq^{n}}}\\&=(1-az)g(a,qz;q)\\\end{aligned}}} g ( a , z ; q ) {\displaystyle g(a,z;q)} をテイラー級数に展開して z n {\displaystyle z^{n}} の係数を比較すると g ( a , q z ; q ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ c n z n = ( 1 − a z ) ∑ n = 0 ∞ c n ( q z ) n 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − c n − 1 ) z n = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( c n − a c n 1 ) ( q z ) n c n − c n − 1 = c n q n − a c n − 1 q n − 1 c n = 1 − a q n − 1 1 − q n c n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&g(a,qz;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(qz)^{n}\\&1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-c_{n-1})z^{n}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}-ac_{n1})(qz)^{n}\\&c_{n}-c_{n-1}=c_{n}q^{n}-ac_{n-1}q^{n-1}\\&c_{n}={\frac {1-aq^{n-1}}{1-q^{n}}}c_{n-1}\\\end{aligned}}} となり、 c 0 = 1 {\displaystyle c_{0}=1} であるから c n = ( a ; q ) n ( q ; q ) n {\displaystyle c_{n}={\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}} g ( a , z ; q ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n {\displaystyle g(a,z;q)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}
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（微分可能な場合の）別証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/13 10:21 UTC 版)
「ロワの恒等式」の記事における「（微分可能な場合の）別証明」の解説
ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。 間接効用関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} は、次のラグランジュの関数 L = u ( x 1 , x 2 ) + λ ( w − p 1 x 1 − p 2 x 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})} で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、包絡線定理（英語版）より、目的関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は ∂ v ∂ p 1 = − λ x 1 m {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}} ∂ v ∂ w = λ {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda } のように計算できる。この x 1 m {\displaystyle x_{1}^{m}} が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式 − ∂ v ∂ p 1 ∂ v ∂ w = − − λ x 1 m λ = x 1 m {\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}} が得られる。
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