一般化極値分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 17:44 UTC 版)
極値分布には後述する3つの型があるが、その一般形の一般化極値分布（generalized extreme value distribution, GEV) の累積分布関数は以下で与えられる。 F ( x ; μ , θ , γ ) = exp { − [ 1 + γ ( x − μ θ ) ] − 1 / γ } {\displaystyle F(x;\mu ,\theta ,\gamma )=\exp \left\{-\left[1+\gamma \left({\frac {x-\mu }{\theta }}\right)\right]^{-1/\gamma }\right\}} ここで 1 + γ ( x − μ ) / θ > 0 {\displaystyle 1+\gamma (x-\mu )/\theta >0} であり、 μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } 、 θ > 0 {\displaystyle \theta >0} 、 γ ∈ R {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} } がパラメータである。 なお、これは最大値が漸近的に従う分布であることから極大値分布とも呼ばれる。また、最小値が漸近的に従う分布は極小値分布と呼ばれ、極大値分布における確率変数Xを-Xで置き換えることで得られる。ここで、極大値分布における累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ、F (x)、f (x)とすると、対応する極小値分布での累積分布関数と確率密度関数はそれぞれ、1-F (-x)、f (-x)で与えられる。以下、特に断りの場合は極大値分布を扱うものとする。 GEVは、パラメータによって以下の3種類の型に分けられる。それぞれの累積分布関数 F (x) と確率密度関数 f (x) を示す。
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